Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սինուսային կոսինուս շոշափողի որոշում. Սինուս, կոսինուս, շոշափող, սուր անկյան կոտանգենս
Հակառակ կողմի և հիպոթենուսի հարաբերությունը կոչվում է սուր անկյան սինուսուղղանկյուն եռանկյուն.
\sin \ալֆա = \frac(a)(c)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս
Հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է սուր անկյան կոսինուսուղղանկյուն եռանկյուն.
\cos \ալֆա = \frac(b)(c)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափող
Հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությունը կոչվում է սուր անկյան շոշափողուղղանկյուն եռանկյուն.
tg \ալֆա = \frac(a)(b)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս
Հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությունը կոչվում է սուր անկյան կոտանգենսուղղանկյուն եռանկյուն.
ctg \ալֆա = \frac(b)(a)
Կամայական անկյան սինուս
Այն միավոր շրջանագծի այն կետի օրդինատը, որին համապատասխանում է \ալֆա անկյունը, կոչվում է կամայական անկյան սինուսռոտացիա \ալֆա .
\sin \alpha=y
Կամայական անկյան կոսինուս
Կոչվում է այն կետի աբսցիսա այն միավոր շրջանագծի վրա, որին համապատասխանում է \ալֆա անկյունը կամայական անկյան կոսինուսռոտացիա \ալֆա .
\cos \alpha=x
Կամայական անկյան շոշափող
Կամայական \ալֆա պտտման անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունը կոչվում է կամայական անկյան շոշափողռոտացիա \ալֆա .
tan \ալֆա = y_(A)
tg \ալֆա = \frac(\sin \ալֆա)(\cos \ալֆա)
Կամայական անկյան կոտանգենս
Պտտման կամայական \ալֆա անկյան կոսինուսի և նրա սինուսի հարաբերությունը կոչվում է կամայական անկյան կոտանգենսռոտացիա \ալֆա .
ctg\ալֆա =x_(A)
ctg \ալֆա = \frac(\cos \ալֆա)(\sin \ալֆա)
Կամայական անկյուն գտնելու օրինակ
Եթե \ալֆան AOM-ի որոշ անկյուն է, որտեղ M-ը միավոր շրջանագծի կետն է, ապա
\sin \alpha=y_(M), \cos \alpha=x_(M) , tg \ալֆա=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \ալֆա=\frac(x_(M))(y_(M)).
Օրինակ, եթե \անկյուն AOM = -\frac(\pi)(4), ապա՝ M կետի օրդինատը հավասար է -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa հավասար է \frac(\sqrt(2))(2)և հետևաբար
\sin \ձախ (-\frac(\pi)(4) \աջ)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \ձախ (\frac(\pi)(4) \աջ)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \ձախ (-\frac(\pi)(4) \աջ)=-1.
Կոտանգենսների տանգենսների կոսինուսների սինուսների արժեքների աղյուսակ
Հիմնական հաճախակի հանդիպող անկյունների արժեքները տրված են աղյուսակում.
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\ձախ(\frac(\pi)(6)\աջ) | 45^(\circ)\ձախ(\frac(\pi)(4)\աջ) | 60^(\circ)\ձախ(\frac(\pi)(3)\աջ) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\աջ) | 180^(\circ)\ձախ (\pi\աջ) | 270^(\circ)\ձախ(\frac(3\pi)(2)\աջ) | 360^(\circ)\ձախ (2\pi\աջ) | |
| \sin\ալֆա | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\ալֆա | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\ալֆա | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Ինչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, անկյան կոտանգենսը, կօգնի ձեզ հասկանալ ուղղանկյուն եռանկյունը:
Ինչպե՞ս են կոչվում ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը: Հիպոթենուսը և ոտքերը ճիշտ են. ոտքերը երկու մնացած կողմերն են \(AB\) և \(BC\) (որոնք հարում են աջ անկյունին), և եթե ոտքերը դիտարկենք \(BC\) անկյան համեմատ, ապա \(AB\) ոտքը հավասար է հարակից ոտքը, իսկ ոտքը \(BC\) հակառակն է։ Այսպիսով, հիմա պատասխանենք հարցին. որո՞նք են անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը:
Անկյունի սինուս– սա հակառակ (հեռավոր) ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:
Մեր եռանկյունում.
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Անկյունի կոսինուս– սա հարակից (մոտ) ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:
Մեր եռանկյունում.
\[ \cos \բետա =\dfrac(AB)(AC) \]
Անկյունի շոշափող- սա հակառակ (հեռավոր) կողմի հարաբերակցությունն է հարակից (մոտ) կողմի հարաբերակցությունը:
Մեր եռանկյունում.
\[tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Անկյունի կոտանգենս- սա հարակից (մոտ) ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ (հեռու):
Մեր եռանկյունում.
\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Այս սահմանումները անհրաժեշտ են հիշիր! Որպեսզի ավելի հեշտ լինի հիշել, թե որ ոտքը ինչի բաժանել, դուք պետք է հստակ հասկանաք դա շոշափողԵվ կոտանգենսմիայն ոտքերը նստում են, իսկ հիպոթենուսը հայտնվում է միայն ներսում սինուսԵվ կոսինուս. Եվ հետո դուք կարող եք գալ ասոցիացիաների շղթա: Օրինակ, այս մեկը.
Կոսինուս→ հպում→ հպում→ հարակից;
Կոտանգենտ→ շոշափել→ շոշափել→ հարակից.
Նախ պետք է հիշել, որ սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, քանի որ եռանկյան կողմերի հարաբերությունները կախված չեն այս կողմերի երկարություններից (նույն անկյան տակ): Չե՞ք հավատում ինձ: Այնուհետև համոզվեք՝ նայելով նկարին.
Դիտարկենք, օրինակ, \(\beta \) անկյան կոսինուսը: Ըստ սահմանման, եռանկյունից \(ABC\) . \(\cos \բետա =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), բայց \(\beta \) անկյան կոսինուսը կարող ենք հաշվել \(AHI \) եռանկյունից. \(\cos \բետա =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Տեսեք, կողմերի երկարությունները տարբեր են, բայց մեկ անկյան կոսինուսի արժեքը նույնն է։ Այսպիսով, սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքները կախված են բացառապես անկյան մեծությունից:
Եթե հասկանում եք սահմանումները, ապա առաջ գնացեք և համախմբեք դրանք:
Ստորև նկարում ներկայացված \(ABC \) եռանկյունու համար մենք գտնում ենք \(\sin \\ալֆա,\ \cos \\ալֆա,\ tg\ \ալֆա,\ ctg\ \ալֆա \).
\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \\ալֆա =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \ալֆա =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \ալֆա =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \ալֆա =\dfrac(3)(4)=0.75\վերջ (զանգված) \)
Դե, ստացե՞լ եք: Ապա փորձեք ինքներդ. նույնը հաշվարկեք \(\beta \) անկյան համար:
Պատասխաններ: \(\sin \ \բետա =0.6;\ \cos \ \բետա =0.8;\ tg\ \բետա =0.75;\ ctg\ \բետա =\dfrac(4)(3) \).
Միավոր (եռանկյունաչափական) շրջան
Հասկանալով աստիճաններ և ռադիաններ հասկացությունները՝ մենք դիտարկեցինք \(1\)-ի շառավղով շրջան։ Նման շրջանակը կոչվում է միայնակ. Դա շատ օգտակար կլինի եռանկյունաչափություն ուսումնասիրելիս։ Հետեւաբար, եկեք նայենք դրան մի փոքր ավելի մանրամասն:
Ինչպես տեսնում եք, այս շրջանագիծը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Շրջանակի շառավիղը հավասար է մեկի, մինչդեռ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների սկզբում, շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը ամրագրված է \(x\) առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (մեր օրինակում՝ սա. \(AB\)) շառավիղն է։
Շրջանակի յուրաքանչյուր կետը համապատասխանում է երկու թվի՝ \(x\) առանցքի երկայնքով կոորդինատը և \(y\) առանցքի երկայնքով կոորդինատը։ Որո՞նք են այս կոորդինատային թվերը: Եվ ընդհանրապես, ի՞նչ կապ ունեն դրանք քննարկվող թեմայի հետ։ Դա անելու համար մենք պետք է հիշենք դիտարկված ուղղանկյուն եռանկյունու մասին: Վերևի նկարում դուք կարող եք տեսնել երկու ամբողջական ուղղանկյուն եռանկյուններ: Դիտարկենք \(ACG\) եռանկյունը: Այն ուղղանկյուն է, քանի որ \(CG\) ուղղահայաց է \(x\) առանցքին:
Որքա՞ն է \(\cos \\alpha \) եռանկյունից \(ACG \)-ը: Ճիշտ է \(\cos \\ալֆա =\dfrac(AG)(AC) \). Բացի այդ, մենք գիտենք, որ \(AC\)-ը միավոր շրջանագծի շառավիղն է, ինչը նշանակում է \(AC=1\) : Եկեք այս արժեքը փոխարինենք կոսինուսի մեր բանաձևով: Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.
\(\cos \\ալֆա =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Ինչի՞ է հավասար \(\sin \\ալֆա \) \(ACG \) եռանկյունից: Դե իհարկե \(\sin \ալֆա =\dfrac(CG)(AC)\)! Փոխարինեք \(AC\) շառավիղի արժեքը այս բանաձևով և ստացեք.
\(\sin \ալֆա =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Այսպիսով, կարո՞ղ եք ասել, թե ինչ կոորդինատներ ունի շրջանագծին պատկանող \(C\) կետը: Դե, ոչ մի կերպ: Իսկ եթե հասկանաք, որ \(\cos \\alpha \) և \(\sin \alpha \) պարզապես թվեր են: Ո՞ր կոորդինատին է համապատասխանում \(\cos \alpha \)-ը: Դե, իհարկե, կոորդինատը \(x\)! Իսկ ո՞ր կոորդինատին է համապատասխանում \(\sin \alpha \)ը։ Ճիշտ է, կոորդինացե՛ք \(y\)! Այսպիսով, կետը \(C(x;y)=C(\cos \ալֆա;\sin \ալֆա) \).
Այդ դեպքում ինչի՞ են հավասար \(tg \alpha \) և \(ctg \alpha \)-ը: Ճիշտ է, եկեք օգտագործենք շոշափողի և կոտանգենսի համապատասխան սահմանումները և ստանանք դա \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), Ա \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).
Իսկ եթե անկյունն ավելի մեծ է: Օրինակ, ինչպես այս նկարում.
Ի՞նչ է փոխվել այս օրինակում: Եկեք պարզենք այն: Դա անելու համար եկեք նորից շրջվենք դեպի ուղղանկյուն եռանկյունի: Դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : անկյունը (որպես \(\beta \) անկյան հարևանությամբ): Որքա՞ն է սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի արժեքը անկյան համար \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Ճիշտ է, մենք հավատարիմ ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համապատասխան սահմանումներին.
\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \անկյուն ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \անկյուն ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\անկյուն ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\անկյուն ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\վերջ (զանգված) \)
Դե, ինչպես տեսնում եք, անկյան սինուսի արժեքը դեռևս համապատասխանում է \(y\) կոորդինատին; անկյան կոսինուսի արժեքը - կոորդինատ \(x\) ; և համապատասխան հարաբերակցություններին շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները: Այսպիսով, այս հարաբերությունները վերաբերում են շառավիղի վեկտորի ցանկացած պտույտին:
Արդեն նշվեց, որ շառավիղի վեկտորի սկզբնական դիրքը \(x\) առանցքի դրական ուղղության երկայնքով է։ Մինչ այժմ մենք պտտել ենք այս վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն պտտենք ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ոչ մի արտառոց բան, դուք նույնպես որոշակի արժեքի անկյուն կստանաք, բայց միայն այն բացասական կլինի։ Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելիս ստանում ենք դրական անկյուններև ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվելիս՝ բացասական.
Այսպիսով, մենք գիտենք, որ շրջանագծի շուրջ շառավղային վեկտորի ամբողջ պտույտը \(360()^\circ \) կամ \(2\pi \) է: Հնարավո՞ր է շառավիղի վեկտորը պտտել \(390()^\circ \) կամ \(-1140()^\circ \)-ով: Դե, իհարկե, կարող ես: Առաջին դեպքում, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)Այսպիսով, շառավիղի վեկտորը կկատարի մեկ ամբողջական պտույտ և կանգ կառնի \(30()^\circ \) կամ \(\dfrac(\pi )(6) \) դիրքում:
Երկրորդ դեպքում՝ \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), այսինքն՝ շառավիղի վեկտորը կկատարի երեք լրիվ պտույտ և կանգ կառնի \(-60()^\circ \) կամ \(-\dfrac(\pi )(3) \) դիրքում։
Այսպիսով, վերը նշված օրինակներից կարող ենք եզրակացնել, որ անկյունները, որոնք տարբերվում են \(360()^\circ \cdot m\) կամ \(2\pi \cdot m\)-ով (որտեղ \(m\)-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է), համապատասխանում են շառավիղի վեկտորի նույն դիրքին:
Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս \(\beta =-60()^\circ \) անկյունը: Նույն պատկերը համապատասխանում է անկյունին \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)և այլն: Այս ցանկը կարելի է անվերջ շարունակել։ Այս բոլոր անկյունները կարելի է գրել ընդհանուր բանաձեւով \(\բետա +360()^\circ \cdot m\)կամ \(\beta +2\pi \cdot m \) (որտեղ \(m\) ցանկացած ամբողջ թիվ է)
\(\սկիզբ(զանգված)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\ end (զանգված) \)
Այժմ, իմանալով հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները և օգտագործելով միավորի շրջանակը, փորձեք պատասխանել, թե որոնք են արժեքները.
\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\տեքստ (tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\ text (tg)\ 450()^\circ =?\\\տեքստ (ctg)\ 450()^\circ =?\վերջ (զանգված) \)
Ահա միավորի շրջանակը, որը կօգնի ձեզ.
Դժվարություններ ունե՞ք: Հետո եկեք պարզենք: Այսպիսով, մենք գիտենք, որ.
\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin \ալֆա =y;\\cos\ալֆա =x;\\tg\ալֆա =\dfrac(y)(x);\\ctg\ալֆա =\dfrac(x )(y).\վերջ(զանգված)\)
Այստեղից որոշում ենք անկյունների որոշակի չափումների համապատասխան կետերի կոորդինատները։ Դե, եկեք սկսենք հերթականությամբ. անկյունը ներս է \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)համապատասխանում է \(\left(0;1 \right) \) կոորդինատներով կետին, հետևաբար.
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Աջ սլաք \text(tg)\ 90()^\circ \)- գոյություն չունի;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Այնուհետև, հավատարիմ մնալով նույն տրամաբանությանը, պարզում ենք, որ անկյունները ներս \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )համապատասխանում են կոորդինատներով կետերին \(\left(-1;0 \աջ),\text( )\left(0;-1 \աջ),\text( )\left(1;0 \աջ),\text( )\left(0 ;1 \աջ) \), համապատասխանաբար։ Իմանալով դա՝ հեշտ է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները համապատասխան կետերում: Նախ փորձեք ինքներդ, ապա ստուգեք պատասխանները:
Պատասխաններ:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Աջ սլաք \text(ctg)\ \pi \)- գոյություն չունի
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- գոյություն չունի
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\ text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- գոյություն չունի
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Աջ սլաք \text(tg)\ 450()^\circ \)- գոյություն չունի
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Այսպիսով, մենք կարող ենք կազմել հետևյալ աղյուսակը.
Այս բոլոր արժեքները հիշելու կարիք չկա։ Բավական է հիշել միավորի շրջանագծի կետերի կոորդինատների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների համապատասխանությունը.
\(\ձախ. \սկիզբ(զանգված)(l)\sin \ալֆա =y;\\cos \ալֆա =x;\\tg \ալֆա =\dfrac(y)(x);\\ctg \ալֆա =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Դուք պետք է հիշեք կամ կարողանաք ցուցադրել այն!! \) !}
Բայց անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները և \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)Ստորև բերված աղյուսակում դուք պետք է հիշեք.
Մի վախեցեք, հիմա մենք ձեզ ցույց կտանք համապատասխան արժեքների բավականին պարզ մտապահման մեկ օրինակ.
Այս մեթոդն օգտագործելու համար կարևոր է հիշել սինուսի արժեքները անկյան բոլոր երեք չափումների համար ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi ) (3) \)), ինչպես նաև անկյան շոշափողի արժեքը \(30()^\circ \)-ում: Իմանալով այս \(4\) արժեքները, բավականին պարզ է վերականգնել ամբողջ աղյուսակը. կոսինուսի արժեքները փոխանցվում են սլաքների համաձայն, այսինքն.
\(\սկիզբ(զանգված)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 )) (2) \\ վերջ (զանգված)\)
\(\ text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), իմանալով դա, դուք կարող եք վերականգնել արժեքները \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). «\(1 \)» համարիչը կհամապատասխանի \(\text(tg)\ 45()^\circ \\), իսկ «\(\sqrt(\text(3)) \)» հայտարարը կհամապատասխանի \(\տեքստ (tg)\ 60()^\circ \\) . Կոտանգենտի արժեքները փոխանցվում են նկարում նշված սլաքների համաձայն: Եթե դուք դա հասկանում եք և հիշում եք սլաքներով գծապատկերը, ապա բավական կլինի հիշել միայն \(4\) արժեքները աղյուսակից:
Կետի կոորդինատները շրջանագծի վրա
Հնարավո՞ր է շրջանագծի վրա գտնել կետ (դրա կոորդինատները)՝ իմանալով շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները, նրա շառավիղը և պտտման անկյունը: Դե, իհարկե, կարող ես: Բերենք կետի կոորդինատները գտնելու ընդհանուր բանաձևը. Օրինակ, ահա մեր առջև մի շրջան.
Մեզ տրված է այդ կետը \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- շրջանագծի կենտրոն. Շրջանակի շառավիղը \(1,5\) է: Անհրաժեշտ է գտնել \(P\) կետի կոորդինատները, որոնք ստացվում են \(O\) կետը \(\դելտա \) աստիճանով պտտելով։
Ինչպես երևում է նկարից, \(P\) կետի \(x\) կոորդինատը համապատասխանում է \(TP=UQ=UK+KQ\) հատվածի երկարությանը: \(UK\) հատվածի երկարությունը համապատասխանում է շրջանագծի կենտրոնի \(x\) կոորդինատին, այսինքն՝ այն հավասար է \(3\)-ի: \(KQ\) հատվածի երկարությունը կարելի է արտահայտել կոսինուսի սահմանման միջոցով.
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
Այնուհետև մենք ունենք, որ \(P\) կետի համար կոորդինատը \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).
Օգտագործելով նույն տրամաբանությունը, մենք գտնում ենք \(P\) կետի y կոորդինատի արժեքը: Այսպիսով,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \դելտա \).
Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, կետերի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.
\(\սկիզբ(զանգված)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \դելտա \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \դելտա \վերջ (զանգված) \), Որտեղ
\(((x)_(0)), ((y)_(0)) \) - շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները,
\(r\) - շրջանագծի շառավիղը,
\(\դելտա \) - վեկտորի շառավիղի պտտման անկյուն:
Ինչպես տեսնում եք, միավորի շրջանակի համար, որը մենք դիտարկում ենք, այս բանաձևերը զգալիորեն կրճատվել են, քանի որ կենտրոնի կոորդինատները հավասար են զրոյի, իսկ շառավիղը հավասար է մեկի.
\(\սկիզբ(զանգված)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \դելտա =\cos \ \դելտա \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \դելտա =\sin \ \դելտա \վերջ (զանգված) \)
Javascript-ն անջատված է ձեր դիտարկիչում:Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները:
Միջին մակարդակ
Ուղղանկյուն եռանկյուն. Ամբողջական պատկերազարդ ուղեցույց (2019)
ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆ. ՄՈՒՏՔԻ ՄԱՐԴԱԿ.
Խնդիրներում ճիշտ անկյունն ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ՝ ներքևի ձախ կողմը, այնպես որ դուք պետք է սովորեք ճանաչել ուղղանկյուն եռանկյունը այս ձևով,
և սրա մեջ
և սրա մեջ 
Ի՞նչն է լավ ուղղանկյուն եռանկյունին: Դե..., նախ՝ նրա կողքերի համար կան հատուկ գեղեցիկ անուններ։
Ուշադրություն նկարչությանը.
Հիշեք և մի շփոթեք. կա երկու ոտք, և կա միայն մեկ հիպոթենուս(մեկ և միակ, եզակի և ամենաերկար)!
Դե, մենք քննարկել ենք անունները, այժմ ամենակարևորը՝ Պյութագորասի թեորեմը:
Պյութագորասի թեորեմ.
Այս թեորեմն ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված բազմաթիվ խնդիրների լուծման բանալին է: Դա ապացուցվել է Պյութագորասի կողմից բոլորովին անհիշելի ժամանակներում, և այդ ժամանակից ի վեր այն շատ օգուտ է բերել նրանց, ովքեր գիտեն դա: Եվ ամենալավն այն է, որ այն պարզ է:
Այսպիսով, Պյութագորասի թեորեմ.
Հիշու՞մ եք կատակը. «Պյութագորասի շալվարները բոլոր կողմերից հավասար են»:
Եկեք նկարենք այս նույն Պյութագորասի շալվարը և նայենք դրանց: 
Դա ինչ-որ շորտի նման չէ՞: Լավ, ո՞ր կողմերում և որտեղ են նրանք հավասար։ Ինչո՞ւ և որտեղի՞ց առաջացավ կատակը: Եվ այս անեկդոտը կապված է հենց Պյութագորասի թեորեմի հետ, ավելի ճիշտ՝ Պյութագորասի կողմից իր թեորեմի ձևակերպման հետ։ Եվ նա ձևակերպեց այսպես.
«Գումար քառակուսիների տարածքները, կառուցված ոտքերի վրա, հավասար է քառակուսի տարածք, կառուցված հիպոթենուսի վրա»։
Իսկապե՞ս մի փոքր այլ կերպ է հնչում: Եվ այսպես, երբ Պյութագորասը գծեց իր թեորեմի դրույթը, սա հենց այն պատկերն է, որը դուրս եկավ։
Այս նկարում փոքր քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է մեծ քառակուսու մակերեսին։ Եվ որպեսզի երեխաները ավելի լավ հիշեն, որ ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուին, սրամիտ ինչ-որ մեկը հորինեց այս կատակը Պյութագորասի շալվարների մասին:
Ինչու՞ ենք մենք հիմա ձևակերպում Պյութագորասի թեորեմը:
Արդյո՞ք Պյութագորասը տառապել և խոսել է քառակուսիների մասին:
Տեսեք, հին ժամանակներում չկար... հանրահաշիվ։ Նշաններ չկային և այլն։ Գրություններ չկային։ Պատկերացնու՞մ եք, թե ինչ սարսափելի էր խեղճ հին սովորողների համար ամեն ինչ բառերով հիշելը??! Եվ մենք կարող ենք ուրախանալ, որ ունենք Պյութագորասի թեորեմի պարզ ձևակերպում: Ավելի լավ հիշելու համար նորից կրկնենք.
Հիմա պետք է հեշտ լինի.
| Հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին: |
Դե, քննարկվել է ուղղանկյուն եռանկյունների մասին ամենակարևոր թեորեմը։ Եթե ձեզ հետաքրքրում է, թե ինչպես է դա ապացուցված, կարդացեք տեսության հետևյալ մակարդակները, և այժմ եկեք գնանք ավելի հեռու... դեպի մութ անտառ... եռանկյունաչափության: Սինուս, կոսինուս, շոշափող և կոտանգենս սարսափելի բառերին:
Սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս ուղղանկյուն եռանկյան մեջ:
Իրականում ամեն ինչ այնքան էլ սարսափելի չէ։ Իհարկե, հոդվածում պետք է դիտարկել սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի «իրական» սահմանումը: Բայց ես իսկապես չեմ ուզում, չէ՞: Մենք կարող ենք ուրախանալ. ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված խնդիրներ լուծելու համար կարող եք պարզապես լրացնել հետևյալ պարզ բաները.
Ինչու՞ ամեն ինչ հենց անկյունում է: Որտեղ է անկյունը: Դա հասկանալու համար դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես են 1-4-րդ պնդումները գրվում բառերով: Նայե՛ք, հասկացե՛ք և հիշե՛ք։
1.
Իրականում դա հնչում է այսպես.
Ինչ վերաբերում է անկյունին: Կա՞ ոտք, որը հակառակ է անկյունին, այսինքն՝ հակառակ (անկյան համար) ոտք։ Իհարկե, կա! Սա ոտք է!
Ինչ վերաբերում է անկյունին: Ուշադիր նայեք. Ո՞ր ոտքն է կից անկյունին: Իհարկե, ոտքը: Սա նշանակում է, որ անկյան համար ոտքը հարակից է, և
Հիմա ուշադրություն դարձրեք. Տեսեք, թե ինչ ենք ստացել.
Տեսեք, թե որքան թույն է.
Այժմ անցնենք շոշափողին և կոտանգենսին:
Ինչպե՞ս կարող եմ հիմա գրել սա բառերով: Ի՞նչ է ոտքը անկյան նկատմամբ: Հակառակ, իհարկե, այն «պառկած է» անկյունի դիմաց: Ինչ վերաբերում է ոտքին: Անկյունին կից. Այսպիսով, ի՞նչ ունենք մենք:
Տեսնո՞ւմ եք, թե ինչպես են համարիչն ու հայտարարը փոխում տեղերը:
Եվ հիմա կրկին անկյունները և փոխանակվեցին.
Ռեզյումե
Եկեք համառոտ գրենք այն ամենը, ինչ սովորել ենք:
 |
Պյութագորասի թեորեմ. |
Ուղղանկյուն եռանկյունների մասին հիմնական թեորեմը Պյութագորասի թեորեմն է։
Պյութագորասի թեորեմ
Ի դեպ, լավ հիշու՞մ եք, թե ինչ են ոտքերը և հիպոթենուսը։ Եթե ոչ շատ լավ, ապա նայեք նկարին` թարմացրեք ձեր գիտելիքները
Միանգամայն հնարավոր է, որ դուք արդեն բազմիցս օգտագործել եք Պյութագորասի թեորեմը, բայց երբևէ մտածե՞լ եք, թե ինչու է այդպիսի թեորեմը ճիշտ: Ինչպե՞ս կարող եմ դա ապացուցել: Եկեք վարվենք հին հույների նման: Կողքով քառակուսի գծենք։
Տեսեք, թե որքան խելամտորեն մենք բաժանեցինք նրա կողմերը երկարությունների և.
Հիմա միացնենք նշված կետերը
Այստեղ մենք, այնուամենայնիվ, այլ բան նկատեցինք, բայց դուք ինքներդ նայեք նկարին և մտածեք, թե ինչու է այդպես։
Որքա՞ն է ավելի մեծ քառակուսու մակերեսը: Ճիշտ է,. Ինչ վերաբերում է ավելի փոքր տարածքին: Անշուշտ,. Մնում է չորս անկյունների ընդհանուր մակերեսը։ Պատկերացրեք, որ մենք վերցնում ենք դրանք երկուսով և իրենց հիպոթենուսներով հենում միմյանց դեմ: Ի՞նչ է պատահել։ Երկու ուղղանկյուն. Սա նշանակում է, որ «կտրվածքների» տարածքը հավասար է:
Եկեք հիմա հավաքենք այս ամենը:
Փոխակերպենք.
Այսպիսով, մենք այցելեցինք Պյութագորասը, մենք ապացուցեցինք նրա թեորեմը հին ձևով:
Ուղղանկյուն եռանկյունի և եռանկյունաչափություն
Ուղղանկյուն եռանկյունու համար գործում են հետևյալ հարաբերությունները.
Սուր անկյան սինուսը հավասար է հակառակ կողմի և հիպոթենուսի հարաբերությանը
Սուր անկյան կոսինուսը հավասար է հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությանը:
Սուր անկյան շոշափողը հավասար է հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությանը:
Սուր անկյան կոտանգենսը հավասար է հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությանը:
Եվ այս ամենը ևս մեկ անգամ պլանշետի տեսքով.
Շատ հարմար է!
Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ
I. Երկու կողմից
II. Ոտքով և հիպոթենուզայով
III. Հիպոթենուզայով և սուր անկյունով
IV. Ոտքի երկայնքով և սուր անկյան տակ
ա) 
բ) 
Ուշադրություն. Այստեղ շատ կարևոր է, որ ոտքերը լինեն «համապատասխան»: Օրինակ, եթե այն ընթանում է այսպես.
Ուրեմն ԵՌԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐԸ ՀԱՎԱՍԱՐ ՉԵՆ, չնայած այն հանգամանքին, որ նրանք ունեն մեկ նույնական սուր անկյուն:
Դա անհրաժեշտ է երկու եռանկյուններում էլ ոտքը կից էր, կամ երկուսում՝ հակառակ.
Նկատե՞լ եք, թե ինչպես են ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշանները տարբերվում եռանկյունների հավասարության սովորական նշաններից։ Նայեք թեմային «և ուշադրություն դարձրեք, որ «սովորական» եռանկյունների հավասարության համար դրանց տարրերից երեքը պետք է հավասար լինեն՝ երկու կողմ և նրանց միջև եղած անկյուն, երկու անկյուն և նրանց միջև գտնվող կողմ, կամ երեք կողմ: Բայց ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության համար բավարար է միայն երկու համապատասխան տարր։ Հիանալի, ճիշտ է:
Մոտավորապես նույն իրավիճակն է ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշանների դեպքում։
Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշաններ
I. Սուր անկյան երկայնքով
II. Երկու կողմից
III. Ոտքով և հիպոթենուզայով
Միջինը ուղղանկյուն եռանկյան մեջ
Ինչու՞ է սա այդպես:
Ուղղանկյուն եռանկյունու փոխարեն դիտարկեք մի ամբողջ ուղղանկյուն:
Եկեք գծենք անկյունագիծ և դիտարկենք մի կետ՝ անկյունագծերի հատման կետը: Ի՞նչ գիտեք ուղղանկյան անկյունագծերի մասին:
Իսկ ի՞նչ է բխում սրանից։
Այսպիսով, պարզվեց, որ
- - միջին:
Հիշեք այս փաստը. Օգնում է շատ!
Առավել զարմանալին այն է, որ ճիշտ է նաև հակառակը.
Ի՞նչ օգուտ կարելի է ստանալ այն փաստից, որ դեպի հիպոթենուզի մեդիանը հավասար է հիպոթենուզայի կեսին: Եկեք նայենք նկարին
Ուշադիր նայեք. Ունենք՝ , այսինքն՝ հեռավորությունները կետից մինչև եռանկյան բոլոր երեք գագաթները հավասար են ստացվել։ Բայց եռանկյան մեջ կա միայն մեկ կետ, որից հեռավորությունները եռանկյան բոլոր երեք գագաթներից հավասար են, և սա ՇՐՋԱՆԻ ԿԵՆՏՐՈՆՆ է: Ուրեմն ի՞նչ է պատահել։
Այսպիսով, եկեք սկսենք այս «բացի ...»:
նայենք և.
Բայց նմանատիպ եռանկյուններն ունեն բոլոր հավասար անկյունները:
Նույնը կարելի է ասել և
Հիմա եկեք միասին նկարենք.
Ի՞նչ օգուտ կարող է քաղել այս «եռակի» նմանությունից։
Դե, օրինակ - Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության երկու բանաձև:
Գրենք համապատասխան կողմերի հարաբերությունները.
Բարձրությունը գտնելու համար լուծում ենք համամասնությունը և ստանում առաջին բանաձևը «Բարձրությունն ուղղանկյուն եռանկյունում»:
Այսպիսով, կիրառենք նմանությունը.
Ի՞նչ է լինելու հիմա։
Կրկին լուծում ենք համամասնությունը և ստանում երկրորդ բանաձևը.
Դուք պետք է շատ լավ հիշեք այս երկու բանաձևերը և օգտագործեք այն, որն ավելի հարմար է: Եկեք նորից գրենք դրանք
Պյութագորասի թեորեմ.
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին.
Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ.
- երկու կողմից.
- ոտքով և հիպոթենուսով՝ կամ
- ոտքի երկայնքով և հարակից սուր անկյունով. կամ
- ոտքի երկայնքով և հակառակ սուր անկյունով. կամ
- հիպոթենուզով և սուր անկյունով. կամ.
Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշաններ.
- մեկ սուր անկյուն՝ կամ
- երկու ոտքերի համաչափությունից.
- ոտքի և հիպոթենուսի համաչափությունից կամ.
Սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս ուղղանկյուն եռանկյան մեջ
- Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին.
- Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է.
- Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է.
- Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենսը հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությունն է.
Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը՝ կամ.
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից գծված միջինը հավասար է հիպոթենուսի կեսին.
Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը.
- ոտքերի միջոցով.
Մաթեմատիկայի ոլորտներից մեկը, որի հետ ուսանողներն ամենաշատը պայքարում են, եռանկյունաչափությունն է: Զարմանալի չէ. այս գիտելիքի ոլորտը ազատորեն տիրապետելու համար անհրաժեշտ է տարածական մտածողություն, սինուսներ, կոսինուսներ, շոշափողներ, կոտանգենսներ բանաձևերի միջոցով գտնելու ունակություն, պարզեցնել արտահայտությունները և կարողանալ օգտագործել pi թիվը։ հաշվարկներ։ Բացի այդ, դուք պետք է կարողանաք օգտագործել եռանկյունաչափությունը թեորեմներն ապացուցելիս, իսկ դրա համար անհրաժեշտ է կա՛մ զարգացած մաթեմատիկական հիշողություն, կա՛մ բարդ տրամաբանական շղթաներ դուրս բերելու կարողություն:
Եռանկյունաչափության ծագումը
Այս գիտությանը ծանոթանալը պետք է սկսել սինուսի, կոսինուսի և անկյան տանգենսի սահմանումից, բայց նախ պետք է հասկանալ, թե ընդհանրապես ինչ է անում եռանկյունաչափությունը:
Պատմականորեն մաթեմատիկական գիտության այս ճյուղի ուսումնասիրության հիմնական առարկան ուղղանկյուն եռանկյուններն էին։ 90 աստիճանի անկյան առկայությունը հնարավորություն է տալիս իրականացնել տարբեր գործողություններ, որոնք թույլ են տալիս որոշել տվյալ գործչի բոլոր պարամետրերի արժեքները՝ օգտագործելով երկու կողմ և մեկ անկյուն կամ երկու անկյուն և մեկ կողմ: Նախկինում մարդիկ նկատեցին այս օրինաչափությունը և սկսեցին ակտիվորեն օգտագործել այն շենքերի կառուցման, նավիգացիայի, աստղագիտության և նույնիսկ արվեստի մեջ:
Սկզբնական փուլ
Սկզբում մարդիկ խոսում էին անկյունների և կողմերի հարաբերությունների մասին՝ օգտագործելով բացառապես ուղղանկյուն եռանկյունների օրինակը։ Այնուհետեւ հայտնաբերվեցին հատուկ բանաձեւեր, որոնք հնարավորություն տվեցին ընդլայնել մաթեմատիկայի այս ճյուղի առօրյա կյանքում օգտագործման սահմանները։
Դպրոցում եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունն այսօր սկսվում է ուղղանկյուն եռանկյուններով, որից հետո սովորողները կիրառում են ձեռք բերած գիտելիքները ֆիզիկայում և աբստրակտ եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, որոնք սկսվում են ավագ դպրոցից։
Գնդաձև եռանկյունաչափություն
Հետագայում, երբ գիտությունը հասավ զարգացման հաջորդ մակարդակին, գնդային երկրաչափության մեջ սկսեցին կիրառվել սինուսով, կոսինուսով, շոշափողով, կոտանգենսով բանաձևերը, որտեղ գործում են տարբեր կանոններ, և եռանկյան անկյունների գումարը միշտ ավելի քան 180 աստիճան է։ Այս բաժինը դպրոցում չի ուսումնասիրվում, բայց անհրաժեշտ է իմանալ դրա գոյության մասին, թեկուզ այն պատճառով, որ երկրագնդի և ցանկացած այլ մոլորակի մակերեսը ուռուցիկ է, ինչը նշանակում է, որ ցանկացած մակերևույթի գծանշում կլինի «աղեղաձև»: եռաչափ տարածություն.
Վերցրեք գլոբուսը և թելը: Կցեք թելը գլոբուսի ցանկացած երկու կետի վրա, որպեսզի այն ձգվի: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այն ստացել է աղեղի ձև: Նման ձևերի հետ առնչվում է գնդային երկրաչափությունը, որն օգտագործվում է գեոդեզիայի, աստղագիտության և այլ տեսական ու կիրառական ոլորտներում։
Ուղղանկյուն եռանկյուն
Մի փոքր սովորելով եռանկյունաչափության օգտագործման եղանակներին՝ վերադառնանք հիմնական եռանկյունաչափությանը, որպեսզի հետագայում հասկանանք, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, ինչ հաշվարկներ կարելի է կատարել դրանց օգնությամբ և ինչ բանաձևեր օգտագործել։
Առաջին քայլը ուղղանկյուն եռանկյունու հետ կապված հասկացությունները հասկանալն է: Նախ, հիպոթենուսը 90 աստիճանի անկյան հակառակ կողմն է: Այն ամենաերկարն է։ Հիշում ենք, որ Պյութագորասի թեորեմի համաձայն նրա թվային արժեքը հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարի արմատին։
Օրինակ, եթե երկու կողմերը համապատասխանաբար 3 և 4 սանտիմետր են, հիպոթենուսի երկարությունը կլինի 5 սանտիմետր: Ի դեպ, այս մասին հին եգիպտացիները գիտեին մոտ չորսուկես հազար տարի առաջ։
Մնացած երկու կողմերը, որոնք կազմում են ուղիղ անկյուն, կոչվում են ոտքեր: Բացի այդ, պետք է հիշել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի:
Սահմանում
Վերջապես, երկրաչափական հիմքի հստակ ըմբռնմամբ, կարելի է դիմել անկյան սինուսի, կոսինուսի և շոշափողի սահմանմանը:
Անկյունի սինուսը հակառակ ոտքի (այսինքն՝ ցանկալի անկյան հակառակ կողմի) հարաբերությունն է հիպոթենուսին: Անկյան կոսինուսը հարակից կողմի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է։
Հիշեք, որ ոչ սինուսը, ոչ կոսինուսը չեն կարող մեկից մեծ լինել: Ինչո՞ւ։ Քանի որ հիպոթենուզը լռելյայն ամենաերկարն է, անկախ նրանից, թե որքան երկար է ոտքը, այն ավելի կարճ կլինի, քան հիպոթենուզան, ինչը նշանակում է, որ դրանց հարաբերակցությունը միշտ կլինի մեկից պակաս: Այսպիսով, եթե խնդրին պատասխանելիս ստանում եք 1-ից մեծ արժեք ունեցող սինուս կամ կոսինուս, ապա փնտրեք սխալ հաշվարկներում կամ հիմնավորումներում: Այս պատասխանն ակնհայտորեն սխալ է։
Ի վերջո, անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է: Սինուսը կոսինուսի վրա բաժանելը նույն արդյունքը կտա։ Նայեք՝ ըստ բանաձևի, մենք բաժանում ենք կողմի երկարությունը հիպոթենուսի վրա, այնուհետև բաժանում ենք երկրորդ կողմի երկարության վրա և բազմապատկում ենք հիպոթենուսով։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն հարաբերությունը, ինչ շոշափողի սահմանման մեջ:
Կոտանգենսը, համապատասխանաբար, անկյունին հարող կողմի հարաբերակցությունն է հակառակ կողմին: Մեկը շոշափողի վրա բաժանելով՝ ստանում ենք նույն արդյունքը։
Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք այն սահմանումները, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը, և կարող ենք անցնել բանաձևերին:
Ամենապարզ բանաձևերը
Եռանկյունաչափության մեջ դուք չեք կարող անել առանց բանաձևերի. ինչպե՞ս գտնել սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս առանց դրանց: Բայց սա հենց այն է, ինչ պահանջվում է խնդիրներ լուծելիս։
Առաջին բանաձևը, որը դուք պետք է իմանաք, երբ սկսում եք ուսումնասիրել եռանկյունաչափությունը, ասում է, որ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի: Այս բանաձևը Պյութագորասի թեորեմի ուղղակի հետևանքն է, բայց այն խնայում է ժամանակը, եթե ձեզ անհրաժեշտ է իմանալ անկյան չափը, այլ ոչ թե կողմը:
Շատ սովորողներ չեն կարողանում հիշել երկրորդ բանաձևը, որը նույնպես շատ տարածված է դպրոցական խնդիրներ լուծելիս՝ մեկի և անկյան տանգենսի քառակուսու գումարը հավասար է մեկի՝ բաժանված անկյան կոսինուսի քառակուսու վրա։ Ուշադիր նայեք. սա նույն պնդումն է, ինչ առաջին բանաձևում, միայն ինքնության երկու կողմերն են բաժանվել կոսինուսի քառակուսու վրա: Պարզվում է, որ պարզ մաթեմատիկական գործողությունը դարձնում է եռանկյունաչափական բանաձեւը լիովին անճանաչելի։ Հիշեք. իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը, փոխակերպման կանոնները և մի քանի հիմնական բանաձևերը, դուք կարող եք ցանկացած պահի թղթի վրա ստանալ անհրաժեշտ ավելի բարդ բանաձևերը:
Կրկնակի անկյունների և արգումենտների գումարման բանաձևեր
Եվս երկու բանաձև, որոնք դուք պետք է սովորեք, կապված են սինուսի և կոսինուսի արժեքների հետ անկյունների գումարի և տարբերության համար: Դրանք ներկայացված են ստորև բերված նկարում: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ առաջին դեպքում սինուսը և կոսինուսը բազմապատկվում են երկու անգամ, իսկ երկրորդում գումարվում է սինուսի և կոսինուսի զույգ արտադրյալը:
Կան նաև բանաձեւեր, որոնք կապված են կրկնակի անկյան փաստարկների հետ։ Դրանք ամբողջությամբ բխում են նախորդներից. որպես պրակտիկա, փորձեք դրանք ստանալ ինքներդ՝ վերցնելով ալֆա անկյունը հավասար բետա անկյունին:
Ի վերջո, նշեք, որ կրկնակի անկյունային բանաձևերը կարող են վերադասավորվել՝ նվազեցնելու սինուսի, կոսինուսի, շոշափող ալֆայի հզորությունը:
Թեորեմներ
Հիմնական եռանկյունաչափության երկու հիմնական թեորեմներն են սինուսի թեորեմը և կոսինուսի թեորեմը։ Այս թեորեմների օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես գտնել սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հետևաբար, գործչի մակերեսը և յուրաքանչյուր կողմի չափը և այլն:
Սինուսների թեորեմն ասում է, որ եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը հակառակ անկյան վրա բաժանելու դեպքում ստացվում է նույն թիվը։ Ընդ որում, այս թիվը հավասար կլինի շրջագծված շրջանագծի երկու շառավղին, այսինքն՝ տրված եռանկյան բոլոր կետերը պարունակող շրջանագծին։
Կոսինուսների թեորեմն ընդհանրացնում է Պյութագորասի թեորեմը՝ այն նախագծելով ցանկացած եռանկյունների վրա։ Ստացվում է, որ երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանեք դրանց արտադրյալը բազմապատկած հարակից անկյան կրկնակի կոսինուսով - ստացված արժեքը հավասար կլինի երրորդ կողմի քառակուսուն։ Այսպիսով, պարզվում է, որ Պյութագորասի թեորեմը կոսինուսի թեորեմի հատուկ դեպք է։
Անզգույշ սխալներ
Նույնիսկ իմանալով, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը, հեշտ է սխալվել անսխալության կամ ամենապարզ հաշվարկների սխալի պատճառով: Նման սխալներից խուսափելու համար եկեք տեսնենք ամենահայտնիները:
Նախ, դուք չպետք է կոտորակները վերածեք տասնորդականների, մինչև չստանաք վերջնական արդյունքը. կարող եք նաև թողնել պատասխանը որպես կոտորակ, եթե այլ բան նշված չէ պայմաններում: Նման վերափոխումը չի կարելի սխալ անվանել, բայց պետք է հիշել, որ խնդրի յուրաքանչյուր փուլում կարող են հայտնվել նոր արմատներ, որոնք, հեղինակի կարծիքով, պետք է կրճատվեն: Այս դեպքում դուք ձեր ժամանակը կկորցնեք անհարկի մաթեմատիկական գործողությունների վրա։ Սա հատկապես ճիշտ է այնպիսի արժեքների համար, ինչպիսիք են երեքի արմատը կամ երկուսի արմատը, քանի որ դրանք հանդիպում են խնդիրների մեջ ամեն քայլափոխի: Նույնը վերաբերում է «տգեղ» թվերի կլորացմանը:
Ավելին, նշեք, որ կոսինուսի թեորեմը վերաբերում է ցանկացած եռանկյունի, բայց ոչ Պյութագորասի թեորեմին: Եթե դուք սխալմամբ մոռանաք երկու անգամ պակասեցնել կողմերի արտադրյալը, որը բազմապատկվել է նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսով, դուք ոչ միայն լիովին սխալ արդյունք կստանաք, այլև կցուցաբերեք թեմայի իսպառ չհասկացողություն: Սա ավելի վատ է, քան անզգույշ սխալը:
Երրորդ, մի շփոթեք սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների, կոտանգենսների համար 30 և 60 աստիճանի անկյունների արժեքները: Հիշեք այս արժեքները, քանի որ 30 աստիճանի սինուսը հավասար է 60-ի կոսինուսին և հակառակը։ Նրանց շփոթելը հեշտ է, ինչի արդյունքում անխուսափելիորեն սխալ արդյունք կստանաք։
Դիմում
Շատ ուսանողներ չեն շտապում սկսել եռանկյունաչափություն ուսումնասիրել, քանի որ չեն հասկանում դրա գործնական նշանակությունը։ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը ինժեների կամ աստղագետի համար: Սրանք հասկացություններ են, որոնք հնարավորություն են տալիս հաշվարկել հեռավոր աստղերը, կանխատեսել երկնաքարի անկումը կամ հետազոտական զոնդ ուղարկել այլ մոլորակ: Առանց դրանց անհնար է շենք կառուցել, մեքենա նախագծել, հաշվարկել մակերեսի ծանրաբեռնվածությունը կամ առարկայի հետագիծը: Եվ սրանք ընդամենը ամենաակնառու օրինակներն են։ Ի վերջո, եռանկյունաչափությունը այս կամ այն ձևով կիրառվում է ամենուր՝ երաժշտությունից մինչև բժշկություն:
Եզրափակելով
Այսպիսով, դուք սինուս եք, կոսինուս, շոշափող: Դուք կարող եք դրանք օգտագործել հաշվարկներում և հաջողությամբ լուծել դպրոցական խնդիրները:
Եռանկյունաչափության ամբողջ իմաստը հանգում է նրան, որ օգտագործելով եռանկյան հայտնի պարամետրերը պետք է հաշվարկել անհայտները: Ընդհանուր առմամբ կա վեց պարամետր՝ երեք կողմերի երկարություն և երեք անկյունների չափ։ Առաջադրանքների միակ տարբերությունն այն է, որ տարբեր մուտքային տվյալներ են տրվում:
Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես կարելի է գտնել սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը՝ հիմնվելով ոտքերի հայտնի երկարությունների կամ հիպոթենուսի վրա: Քանի որ այս տերմինները նշանակում են ոչ այլ ինչ, քան հարաբերակցություն, իսկ հարաբերակցությունը կոտորակ է, եռանկյունաչափության խնդրի հիմնական նպատակն է գտնել սովորական հավասարման կամ հավասարումների համակարգի արմատները: Եվ այստեղ ձեզ կօգնի սովորական դպրոցական մաթեմատիկան։
Դասախոսություն: Սինուս, կոսինուս, շոշափող, կամայական անկյան կոտանգենս
Սինուս, կամայական անկյան կոսինուս
Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, եկեք դիտարկենք միավորի շառավղով շրջանագիծը: Այս շրջանագիծը կոորդինատային հարթության սկզբում կենտրոն ունի: Տրված ֆունկցիաները որոշելու համար կօգտագործենք շառավիղի վեկտորը ԿԱՄ, որը սկսվում է շրջանագծի կենտրոնից, և կետը Ռշրջանագծի մի կետ է: Այս շառավղային վեկտորը առանցքի հետ կազմում է ալֆա անկյուն Օհ. Քանի որ շրջանակն ունի մեկին հավասար շառավիղ, ուրեմն ԿԱՄ = R = 1.
Եթե կետից Ռիջեցնել առանցքի ուղղահայացը Օհ, ապա ստանում ենք մեկին հավասար հիպոթենուսով ուղղանկյուն եռանկյուն:
Եթե շառավիղի վեկտորը շարժվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա այս ուղղությունը կոչվում է բացասական, եթե այն շարժվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ - դրական.
Անկյունի սինուս ԿԱՄ, կետի օրդինատն է Ռվեկտոր շրջանագծի վրա:
Այսինքն՝ տվյալ անկյան ալֆայի սինուսի արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը Uինքնաթիռում.
Ինչպե՞ս է ստացվել այս արժեքը: Քանի որ մենք գիտենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան կամայական անկյան սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, մենք ստանում ենք.
Եվ քանի որ R=1, Դա sin(α) = y 0 .
Միավոր շրջանագծի մեջ օրդինատի արժեքը չի կարող լինել -1-ից փոքր և 1-ից մեծ, ինչը նշանակում է
Միավոր շրջանագծի առաջին և երկրորդ քառորդներում սինուսը դրական արժեք է ընդունում, իսկ երրորդ և չորրորդում՝ բացասական:
Անկյան կոսինուստրված շրջան, որը ձևավորվում է շառավիղի վեկտորով ԿԱՄ, կետի աբսցիսա է Ռվեկտոր շրջանագծի վրա:
Այսինքն՝ տվյալ անկյան ալֆայի կոսինուսի արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը Xինքնաթիռում.
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ կամայական անկյան կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, մենք ստանում ենք, որ
Եվ քանի որ R=1, Դա cos(α) = x 0 .
Միավոր շրջանագծի մեջ աբսցիսայի արժեքը չի կարող լինել -1-ից փոքր և 1-ից մեծ, ինչը նշանակում է
Միավոր շրջանագծի առաջին և չորրորդ քառորդներում կոսինուսը դրական արժեք է ընդունում, իսկ երկրորդում և երրորդում՝ բացասական:
Շոշափողկամայական անկյունՀաշվարկվում է սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը:
Եթե դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյուն, ապա սա հակառակ կողմի հարաբերակցությունն է հարակից կողմի: Եթե մենք խոսում ենք միավոր շրջանագծի մասին, ապա սա օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերակցությունն է։
Դատելով այս հարաբերություններից՝ կարելի է հասկանալ, որ շոշափողը չի կարող գոյություն ունենալ, եթե աբսցիսայի արժեքը զրո է, այսինքն՝ 90 աստիճանի անկյան տակ։ Շոշափողը կարող է վերցնել մնացած բոլոր արժեքները:
Միավոր շրջանագծի առաջին և երրորդ քառորդներում շոշափողը դրական է, իսկ երկրորդում և չորրորդում՝ բացասական:
