1 կետի հիման վրա ուղիղ գծի հավասարում. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում` նկարագրություն, օրինակներ, խնդրի լուծում

Սահմանում.Հարթության վրա գտնվող ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է սահմանվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

Ընդ որում, A և B հաստատունները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի։ Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.Կախված A, B և C հաստատունների արժեքներից, հնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – ուղիղ գիծն անցնում է սկզբնակետով

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ուղիղ գիծ Ox առանցքին զուգահեռ

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ

B = C = 0, A ≠0 – ուղիղ գիծը համընկնում է Oy առանցքի հետ

A = C = 0, B ≠0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Ox առանցքի հետ

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված տվյալ սկզբնական պայմաններից:

Կետից ուղիղ գծի հավասարում և նորմալ վեկտոր

Սահմանում.Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներ ունեցող վեկտորը ուղղահայաց է Ax + By + C = 0 հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին։

Օրինակ. Գտե՛ք (3, -1) ուղղահայաց A(1, 2) կետով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Լուծում. A = 3-ով և B = -1-ով կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3 – 2 + C = 0, հետևաբար, C = -1: Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x – y – 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այս կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը հետևյալն է.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի, վերևում գրված տողի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2 և x = x 1, եթե x 1 = x 2:

Կոտորակը = k կոչվում է լանջինուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Լուծում.Կիրառելով վերը գրված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և թեքությունից

Եթե ​​ընդհանուր Ax + Bu + C = 0, բերեք ձևի.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետկ.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և ուղղության վեկտորից

Համեմատելով այն կետի հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել ուղիղ գծի սահմանումը կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը:

Սահմանում.Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են A α 1 + B α 2 = 0 պայմանը կոչվում է գծի ուղղորդող վեկտոր։

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում.Մենք կփնտրենք ցանկալի գծի հավասարումը ձևով. Ax + By + C = 0: Ըստ սահմանման, գործակիցները պետք է բավարարեն պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև՝ Ax + Ay + C = 0, կամ x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ի համար մենք ստանում ենք C/ A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

Գծի հավասարումը հատվածներում

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ապա, բաժանելով –С-ի, ստանում ենք. կամ

Գործակիցների երկրաչափական իմաստն այն է, որ գործակիցը ԱՕքսի առանցքի հետ ուղիղի հատման կետի կոորդինատն է, և բ– ուղիղ գծի Oy առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը.

Օրինակ.Տրված է x – y + 1 = 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը:

C = 1, , a = -1, b = 1:

Գծի նորմալ հավասարում

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերն էլ Ax + By + C = 0 բազմապատկվեն թվով որը կոչվում է նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

գծի նորմալ հավասարում. Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Օրինակ. Տրված է 12x – 5y – 65 = 0 տողի ընդհանուր հավասարումը: Այս տողի համար պահանջվում է գրել տարբեր տեսակի հավասարումներ:

այս տողի հավասարումը հատվածներում.

այս գծի հավասարումը թեքության հետ. (բաժանել 5-ի)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ առանցքներին զուգահեռ կամ կոորդինատների սկզբնակետով անցնող ուղիղները։

Օրինակ. Ուղիղ գիծը կտրում է հավասար դրական հատվածները կոորդինատային առանցքների վրա: Գրեք ուղիղ գծի հավասարում, եթե այս հատվածներով կազմված եռանկյան մակերեսը 8 սմ 2 է:

Լուծում.Ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև՝ , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Օրինակ. Գրի՛ր A(-2, -3) կետով անցնող ուղիղ գծի և սկզբնագծի հավասարումը:

Լուծում. Ուղիղ գծի հավասարումը հետևյալն է. , որտեղ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Անկյուն ուղիղ գծերի միջև հարթության վրա

Սահմանում.Եթե ​​երկու ուղիղ տրվի y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս ուղիղների միջև սուր անկյունը կսահմանվի որպես.

.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2: Երկու ուղիղ ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1/ k 2:

Թեորեմ. Ax + Bу + C = 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ուղիղները զուգահեռ են, երբ A 1 = λA, B 1 = λB գործակիցները համաչափ են: Եթե ​​նաև C 1 = λC, ապա տողերը համընկնում են: Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղիղին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Սահմանում. M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող և y = kx + b ուղիղին ուղղահայաց ուղիղ գիծը ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող

Թեորեմ.Եթե ​​տրված է M(x 0, y 0) կետ, ապա Ax + Bу + C = 0 ուղիղը որոշվում է.

.

Ապացույց.Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այնուհետև M և M 1 կետերի միջև եղած հեռավորությունը.

(1)

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել՝ լուծելով հավասարումների համակարգը.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տվյալ ուղղին ուղղահայաց M 0 կետով անցնող ուղիղի հավասարումն է։ Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ. Որոշե՛ք տողերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3 x + 7; y = 2 x + 1:

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Օրինակ. Ցույց տվեք, որ 3x – 5y + 7 = 0 և 10x + 6y – 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Լուծում. Մենք գտնում ենք՝ k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, հետևաբար, գծերն ուղղահայաց են։

Օրինակ. Տրված են A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները: Գտե՛ք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը։

Լուծում. Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Պահանջվող բարձրության հավասարումը ունի ձև՝ Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b: k =. Այնուհետև y =: Որովհետև բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը. որտեղից b = 17. Ընդհանուր՝ .

Պատասխան՝ 3 x + 2 y – 34 = 0:

Այս հոդվածը շարունակում է հարթության վրա գծի հավասարման թեման. այս տիպի հավասարումը մենք կդիտարկենք որպես գծի ընդհանուր հավասարում: Եկեք սահմանենք թեորեմը և բերենք դրա ապացույցը. Եկեք պարզենք, թե որն է ուղիղի թերի ընդհանուր հավասարումը և ինչպես կատարել անցումներ ընդհանուր հավասարումից գծի այլ տեսակի հավասարումների: Մենք կամրապնդենք ամբողջ տեսությունը նկարազարդումներով և գործնական խնդիրների լուծումներով:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Թող հարթության վրա նշվի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y:

Թեորեմ 1

Առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև, որտեղ A, B, C որոշ իրական թվեր են (A և B միաժամանակ հավասար չեն զրոյի), սահմանում է ուղիղ գիծ. ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Իր հերթին, հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ գիծ որոշվում է հավասարմամբ, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև A, B, C արժեքների որոշակի հավաքածուի համար:

Ապացույց

Այս թեորեմը բաղկացած է երկու կետից.

1. Ապացուցենք, որ A x + B y + C = 0 հավասարումը հարթության վրա սահմանում է ուղիղ գիծ:

Թող լինի M 0 կետ (x 0, y 0), որի կոորդինատները համապատասխանում են A x + B y + C = 0 հավասարմանը: Այսպիսով՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: A x + B y + C = 0 հավասարումների ձախ և աջ կողմերից հանում ենք A x 0 + B y 0 + C = 0 հավասարման ձախ և աջ կողմերը, ստանում ենք նոր հավասարում, որը նման է A (x) - x 0) + B (y - y 0) = 0: Այն համարժեք է A x + B y + C = 0:

Ստացված A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը անհրաժեշտ և բավարար պայման է n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x վեկտորների ուղղահայացության համար: 0, y - y 0 ) . Այսպիսով, M (x, y) կետերի բազմությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է ուղիղ գիծ n → = (A, B) վեկտորի ուղղությանը ուղղահայաց: Կարելի է ենթադրել, որ դա այդպես չէ, բայց այդ դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց չեն լինի, իսկ A հավասարությունը (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ճիշտ չի լինի:

Հետևաբար, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը սահմանում է որոշակի գիծ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա, և, հետևաբար, համարժեք A x + B y + C = 0 հավասարումը սահմանում է. նույն գիծը. Այսպես մենք ապացուցեցինք թեորեմի առաջին մասը։

1. Եկեք ապացույց ներկայացնենք, որ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ կարող է ճշտվել առաջին աստիճանի A x + B y + C = 0 հավասարմամբ:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա սահմանենք ուղիղ a. M 0 կետը (x 0 , y 0), որով անցնում է այս ուղիղը, ինչպես նաև այս ուղղի նորմալ վեկտորը n → = (A, B) .

Թող լինի նաև M (x, y) մի կետ՝ գծի վրա լողացող կետ: Այս դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց, և դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Վերաշարադրենք A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 հավասարումը, սահմանենք C: C = - A x 0 - B y 0 և վերջնական արդյունքում կստանանք A x + B y + C = հավասարումը. 0.

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք թեորեմի երկրորդ մասը, և մենք ապացուցել ենք ամբողջ թեորեմն ամբողջությամբ։

Սահմանում 1

Ձևի հավասարում A x + B y + C = 0 - Սա գծի ընդհանուր հավասարումուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող հարթության վրաՕքսի.

Ապացուցված թեորեմի հիման վրա կարող ենք եզրակացնել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա սահմանված ուղիղ գիծը և դրա ընդհանուր հավասարումը անքակտելիորեն կապված են: Այլ կերպ ասած, սկզբնական տողը համապատասխանում է իր ընդհանուր հավասարմանը. գծի ընդհանուր հավասարումը համապատասխանում է տվյալ գծին:

Թեորեմի ապացույցից հետևում է նաև, որ x և y փոփոխականների A և B գործակիցները գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, որը տրված է A x + B y + C = ուղղի ընդհանուր հավասարմամբ. 0.

Դիտարկենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կոնկրետ օրինակ:

Թող տրվի 2 x + 3 y - 2 = 0 հավասարումը, որը համապատասխանում է տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի: Այս տողի նորմալ վեկտորը վեկտորն է n → = (2, 3): Գծագրում գծենք տրված ուղիղ գիծը։

Կարող ենք նաև նշել հետևյալը. ուղիղ գիծը, որը մենք տեսնում ենք գծագրում, որոշվում է 2 x + 3 y - 2 = 0 ընդհանուր հավասարմամբ, քանի որ տվյալ ուղիղ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները համապատասխանում են այս հավասարմանը:

Մենք կարող ենք ստանալ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 հավասարումը ուղիղի ընդհանուր հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով λ թվով, որը հավասար չէ զրոյի: Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուր հավասարմանը, հետևաբար, այն կնկարագրի նույն ուղիղ գիծը հարթության վրա:

Սահմանում 2

Գծի ամբողջական ընդհանուր հավասարում– A x + B y + C = 0 ուղիղ գծի այնպիսի ընդհանուր հավասարում, որում A, B, C թվերը տարբերվում են զրոյից: Հակառակ դեպքում հավասարումը հետևյալն է թերի.

Եկեք վերլուծենք գծի ոչ լրիվ ընդհանուր հավասարման բոլոր տատանումները:

1. Երբ A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ընդհանուր հավասարումը ստանում է B y + C = 0 ձև: Նման անավարտ ընդհանուր հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է O x y ուղիղ գիծ, ​​որը զուգահեռ է O x առանցքին, քանի որ x-ի ցանկացած իրական արժեքի համար y փոփոխականը կընդունի արժեքը: - C B. Այլ կերպ ասած, A x + B y + C = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, երբ A = 0, B ≠ 0, սահմանում է այն կետերի տեղը (x, y), որոնց կոորդինատները հավասար են նույն թվին. - C B.
2. Եթե ​​A = 0, B ≠ 0, C = 0, ապա ընդհանուր հավասարումը ստանում է y = 0 ձև: Այս թերի հավասարումը սահմանում է x առանցքը O x:
3. Երբ A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, մենք ստանում ենք A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարում, որը սահմանում է օրդինատին զուգահեռ ուղիղ գիծ:
4. Թող A ≠ 0, B = 0, C = 0, ապա թերի ընդհանուր հավասարումը կստանա x = 0 ձև, և սա O y կոորդինատային ուղղի հավասարումն է:
5. Վերջապես, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 համար թերի ընդհանուր հավասարումը ընդունում է A x + B y = 0 ձևը: Եվ այս հավասարումը նկարագրում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է սկզբնակետով: Փաստորեն, թվերի զույգը (0, 0) համապատասխանում է A x + B y = 0 հավասարությանը, քանի որ A · 0 + B · 0 = 0:

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարումների բոլոր վերը նշված տեսակները:

Օրինակ 1

Հայտնի է, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին և անցնում է 2 7, - 11 կետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված տողի ընդհանուր հավասարումը.

Լուծում

Օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ տրվում է A x + C = 0 ձևի հավասարմամբ, որում A ≠ 0: Պայմանում նշվում են նաև այն կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարման պայմաններին, այսինքն. հավասարությունը ճշմարիտ է.

A 2 7 + C = 0

Դրանից կարելի է որոշել C-ն, եթե A-ին տանք ոչ զրոյական արժեք, օրինակ՝ A = 7: Այս դեպքում մենք ստանում ենք՝ 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2: Մենք գիտենք A և C երկու գործակիցները, դրանք փոխարինում ենք A x + C = 0 հավասարման մեջ և ստանում ենք անհրաժեշտ ուղիղ գծի հավասարումը. 7 x - 2 = 0:

Պատասխան. 7 x - 2 = 0

Օրինակ 2

Գծանկարը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, ​​դուք պետք է գրեք դրա հավասարումը:

Լուծում

Տրված գծագիրը թույլ է տալիս հեշտությամբ վերցնել նախնական տվյալները՝ խնդիրը լուծելու համար։ Գծագրում տեսնում ենք, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է O x առանցքին և անցնում է (0, 3) կետով։

Ուղիղ գիծը, որը զուգահեռ է աբսցիսային, որոշվում է B y + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարմամբ։ Եկեք գտնենք B և C արժեքները: (0, 3) կետի կոորդինատները, քանի որ տրված ուղիղն անցնում է դրանով, կբավարարեն B y + C = 0 ուղղի հավասարումը, ապա հավասարությունը վավեր է՝ B · 3 + C = 0։ Եկեք B սահմանենք զրոյից տարբեր արժեք: Եկեք ասենք B = 1, որի դեպքում B · 3 + C = 0 հավասարությունից կարող ենք գտնել C: C = - 3: Օգտագործելով B և C-ի հայտնի արժեքները, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի պահանջվող հավասարումը. y - 3 = 0:

Պատասխան. y - 3 = 0:

Հարթության տվյալ կետով անցնող ուղիղի ընդհանուր հավասարումը

Թող տրված ուղիղն անցնի M 0 կետով (x 0 , y 0), ապա նրա կոորդինատները համապատասխանում են ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: Եկեք այս հավասարման ձախ և աջ կողմերը հանենք գծի ընդհանուր ամբողջական հավասարման ձախ և աջ կողմերից: Ստանում ենք՝ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուրին, անցնում է M 0 կետով (x 0, y 0) և ունի նորմալ. վեկտոր n → = (A, B) .

Մեր ստացած արդյունքը հնարավորություն է տալիս գրել գծի ընդհանուր հավասարումը գծի նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այս ուղիղի որոշակի կետի կոորդինատներով:

Օրինակ 3

Տրվում է M 0 (- 3, 4) կետը, որով անցնում է ուղիղ, և այս ուղիղի նորմալ վեկտորը. n → = (1 , - 2) . Անհրաժեշտ է գրել տրված տողի հավասարումը.

Լուծում

Սկզբնական պայմանները թույլ են տալիս մեզ ստանալ անհրաժեշտ տվյալներ՝ հավասարումը կազմելու համար՝ A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4: Ապա.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Խնդիրն այլ կերպ կարող էր լուծվել. Ուղղի ընդհանուր հավասարումը A x + B y + C = 0 է: Տրված նորմալ վեկտորը մեզ թույլ է տալիս ստանալ A և B գործակիցների արժեքները, այնուհետև.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Այժմ եկեք գտնենք C-ի արժեքը՝ օգտագործելով խնդրի պայմանով սահմանված M 0 (- 3, 4) կետը, որով անցնում է ուղիղ գիծը: Այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են x - 2 · y + C = 0 հավասարմանը, այսինքն. - 3 - 2 4 + C = 0: Այսպիսով, C = 11: Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը ստանում է ձև՝ x - 2 · y + 11 = 0:

Պատասխան. x - 2 y + 11 = 0:

Օրինակ 4

Տրվում է 2 3 x - y - 1 2 = 0 տող և այս ուղղի վրա ընկած M 0 կետ: Հայտնի է միայն այս կետի աբսցիսան, և այն հավասար է - 3-ի։ Անհրաժեշտ է որոշել տվյալ կետի օրդինատը։

Լուծում

M 0 կետի կոորդինատները նշանակենք x 0 և y 0: Աղբյուրի տվյալները ցույց են տալիս, որ x 0 = - 3: Քանի որ կետը պատկանում է տվյալ ուղղին, ուրեմն դրա կոորդինատները համապատասխանում են այս ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը։ Այդ դեպքում հավասարությունը ճշմարիտ կլինի.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Սահմանեք y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Պատասխան. - 5 2

Գծի ընդհանուր հավասարումից անցում ուղիղի այլ տիպի հավասարումների և հակառակը

Ինչպես գիտենք, հարթության վրա նույն ուղիղ գծի համար կան մի քանի տեսակի հավասարումներ։ Հավասարման տեսակի ընտրությունը կախված է խնդրի պայմաններից. հնարավոր է ընտրել այն, որն ավելի հարմար է այն լուծելու համար։ Այստեղ շատ օգտակար է մի տեսակի հավասարումը մեկ այլ տիպի հավասարման վերածելու հմտությունը։

Նախ դիտարկենք A x + B y + C = 0 ձևի ընդհանուր հավասարումից անցումը x - x 1 a x = y - y 1 a y կանոնական հավասարմանը:

Եթե ​​A ≠ 0, ապա B y տերմինը տեղափոխում ենք ընդհանուր հավասարման աջ կողմ: Ձախ կողմում փակագծերից հանում ենք A-ն։ Արդյունքում ստանում ենք՝ A x + C A = - B y:

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես համամասնություն՝ x + C A - B = y A:

Եթե ​​B ≠ 0, ապա ընդհանուր հավասարման ձախ կողմում թողնում ենք միայն A x տերմինը, մյուսները տեղափոխում ենք աջ կողմ, ստանում ենք՝ A x = - B y - C: Փակագծերից հանում ենք – B, ապա՝ A x = - B y + C B .

Հավասարությունը վերագրենք որպես համամասնություն՝ x - B = y + C B A:

Բնականաբար, ստացված բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Ընդհանուր հավասարումից կանոնականին անցնելիս բավական է իմանալ գործողությունների ալգորիթմը։

Օրինակ 5

Տրված է 3 y - 4 = 0 տողի ընդհանուր հավասարումը։ Անհրաժեշտ է այն վերածել կանոնական հավասարման։

Լուծում

Եկեք սկզբնական հավասարումը գրենք 3 y - 4 = 0: Հաջորդը մենք շարժվում ենք ըստ ալգորիթմի. 0 x տերմինը մնում է ձախ կողմում; իսկ աջ կողմում դրեցինք՝ փակագծերից 3 հատ; մենք ստանում ենք՝ 0 x = - 3 y - 4 3:

Ստացված հավասարությունը գրենք համամասնությամբ՝ x - 3 = y - 4 3 0 : Այսպիսով, մենք ստացել ենք կանոնական ձևի հավասարում:

Պատասխան՝ x - 3 = y - 4 3 0.

Գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրայինի փոխակերպելու համար նախ անցում է կատարվում կանոնական ձևին, այնուհետև՝ անցում տողի կանոնական հավասարումից պարամետրական հավասարումների։

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է 2 x - 5 y - 1 = 0 հավասարմամբ։ Գրի՛ր այս տողի պարամետրային հավասարումները։

Լուծում

Անցում կատարենք ընդհանուր հավասարումից կանոնականին.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Այժմ մենք վերցնում ենք ստացված կանոնական հավասարման երկու կողմերը, որոնք հավասար են λ, ապա.

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Պատասխան.x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ընդհանուր հավասարումը կարող է վերածվել ուղիղ գծի հավասարման y = k · x + b թեքությամբ, բայց միայն այն դեպքում, երբ B ≠ 0: Անցման համար B y տերմինը թողնում ենք ձախ կողմում, մնացածը տեղափոխվում են աջ։ Ստանում ենք՝ B y = - A x - C . Ստացված հավասարության երկու կողմերը բաժանենք զրոյից տարբերվող B-ի` y = - A B x - C B:

Օրինակ 7

Տրված է ուղիղի ընդհանուր հավասարումը` 2 x + 7 y = 0: Պետք է այդ հավասարումը վերածել թեքության հավասարման:

Լուծում

Կատարենք անհրաժեշտ գործողությունները ըստ ալգորիթմի.

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Պատասխան. y = - 2 7 x .

Ուղղի ընդհանուր հավասարումից բավական է պարզապես հավասարում ստանալ x a + y b = 1 ձևի հատվածներում։ Նման անցում կատարելու համար C թիվը տեղափոխում ենք հավասարության աջ կողմ, ստացված հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք – C-ի և, վերջապես, x և y փոփոխականների գործակիցները փոխանցում ենք հայտարարներին.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է x - 7 y + 1 2 = 0 ուղղի ընդհանուր հավասարումը վերածել հատվածների գծի հավասարման:

Լուծում

Եկեք տեղափոխենք 1 2 աջ կողմ՝ x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2:

Բաժանենք հավասարության երկու կողմերը -1/2-ի` x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1:

Պատասխան. x - 1 2 + y 1 14 = 1:

Ընդհանրապես, հակառակ անցումը նույնպես հեշտ է՝ այլ տեսակի հավասարումներից ընդհանուրին։

Հատվածներով ուղիղի և անկյունային գործակցով հավասարումը հեշտությամբ կարելի է վերածել ընդհանուրի՝ պարզապես հավաքելով հավասարության ձախ կողմում գտնվող բոլոր անդամները.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Կանոնական հավասարումը վերածվում է ընդհանուրի հետևյալ սխեմայի համաձայն.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Պարամետրիկներից անցնելու համար նախ անցեք կանոնականին, այնուհետև ընդհանուրին.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 9

Տրված են x = - 1 + 2 · λ y = 4 ուղղի պարամետրային հավասարումները։ Անհրաժեշտ է գրել այս տողի ընդհանուր հավասարումը.

Լուծում

Եկեք անցում կատարենք պարամետրային հավասարումներից կանոնականի.

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Կանոնականից անցնենք ընդհանուրի.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Պատասխան. y - 4 = 0

Օրինակ 10

Տրված է ուղիղ գծի հավասարումը x 3 + y 1 2 = 1 հատվածներում։ Անհրաժեշտ է անցում կատարել հավասարման ընդհանուր ձևին.

Լուծում:

Մենք պարզապես վերագրում ենք հավասարումը պահանջվող ձևով.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Պատասխան. 1 3 x + 2 y - 1 = 0:

Գծի ընդհանուր հավասարում կազմելը

Վերևում ասացինք, որ ընդհանուր հավասարումը կարելի է գրել նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այն կետի կոորդինատներով, որով անցնում է ուղիղը։ Նման ուղիղ գիծը սահմանվում է A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարմամբ: Այնտեղ վերլուծեցինք նաև համապատասխան օրինակը։

Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ օրինակներ, որոնցում նախ պետք է որոշել նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Օրինակ 11

Տրվում է 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ուղղին զուգահեռ ուղիղ: Հայտնի է նաև M 0 (4, 1) կետը, որով անցնում է տվյալ ուղիղը։ Անհրաժեշտ է գրել տրված տողի հավասարումը.

Լուծում

Սկզբնական պայմանները մեզ ասում են, որ ուղիղները զուգահեռ են, այնուհետև, որպես գծի նորմալ վեկտոր, որի հավասարումը պետք է գրվի, վերցնում ենք n → = (2, - 3) ուղղի ուղղության վեկտորը՝ 2 x. - 3 y + 3 3 = 0: Այժմ մենք գիտենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները գծի ընդհանուր հավասարումը ստեղծելու համար.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - 5 = 0:

Օրինակ 12

Տրված ուղիղն անցնում է x - 2 3 = y + 4 5 ուղղին ուղղահայաց սկզբնակետով։ Տրված տողի համար անհրաժեշտ է ստեղծել ընդհանուր հավասարում.

Լուծում

Տվյալ ուղղի նորմալ վեկտորը կլինի x - 2 3 = y + 4 5 ուղղի ուղղության վեկտորը:

Այնուհետև n → = (3, 5) . Ուղիղ գիծը անցնում է ծագման միջով, այսինքն. O կետով (0, 0): Տրված տողի համար ստեղծենք ընդհանուր հավասարում.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Պատասխանել 3 x + 5 y = 0:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թող ուղիղն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ունի y-y 1 = ձև կ (x - x 1), (10.6)

Որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն (10.6) հավասարումը. y 2 -y 1 = կ (x 2 - x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք Փոխարինելով գտնված արժեքը կ (10.6) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե ​​x 1 = x 2, ապա M 1 (x 1,y I) և M 2 (x 2,y 2) կետերով անցնող ուղիղը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին։ Դրա հավասարումն է x = x 1 .

Եթե ​​y 2 = y I, ապա ուղիղի հավասարումը կարելի է գրել որպես y = y 1, M 1 M 2 ուղիղը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին։

Գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a;0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0;b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
. Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն է կտրում գիծը կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Գտնենք Mo (x O; y o) տրված ոչ զրոյական վեկտորի n = (A; B) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Վերցնենք կամայական M(x; y) կետը գծի վրա և դիտարկենք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

Վեկտորը n= (A; B), ուղղին ուղղահայաց, կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C = -Ax o - Vu o-ն ազատ անդամն է: Հավասարում (10.9) գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ. 2):

Նկ.1 Նկ.2

Գծի կանոնական հավասարումներ

,

Որտեղ
- կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և
- ուղղության վեկտոր.

Երկրորդ կարգի կորեր Շրջանակ

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն։

Շառավիղով շրջանագծի կանոնական հավասարում Ռ կենտրոնացած մի կետի վրա
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է կոորդինատների ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմություն է, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված կետերի հեռավորությունների գումարը Եվ , որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն մեծություն է
, ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Ox առանցքի վրա, և կոորդինատների սկզբնակետը միջնամասում գտնվող օջախների միջև ունի ձև.
Գ դեա կիսամյակային հիմնական առանցքի երկարությունը;բ – կիսափոքր առանցքի երկարությունը (նկ. 2):

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Ցանկացած կետով կարելի է անսահման թվով ուղիղ գծեր գծել։

Ցանկացած երկու չհամընկնող կետերի միջով կարելի է մեկ ուղիղ գիծ գծել:

Հարթության մեջ երկու տարբեր ուղիղներ կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու տողերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• գծերը հատվում են;

• գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող— Առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ ուղիղ գիծ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում. Հարթության վրա գտնվող ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է սահմանվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

և մշտական Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է գեներալ

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, ԲԵվ ՀԵՏՀնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ուղիղ գիծ է անցնում ծագման միջով

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = C = 0, A ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

. A = C = 0, B ≠0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում. A = 3 և B = -1-ով կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտեք C գործակիցը.

Փոխարինենք տրված Ա կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ, հետևաբար՝ 3 - 2 + C = 0

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)Եվ M2 (x 2, y 2, z 2),Հետո գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի: Միացված է

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

Եթե x 1 ≠ x 2Եվ x = x 1, Եթե x 1 = x 2 .

Կոտորակ = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ. Գտե՛ք A(1, 2) և B(3, 4) կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Լուծում. Կիրառելով վերը գրված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարում` օգտագործելով կետ և թեքություն:

Եթե ​​ուղիղի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0հանգեցնել՝

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Ուղիղ գծի հավասարումը կետից և ուղղության վեկտորից:

Համեմատելով այն կետի հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aα 1 + Bα 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A(1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում. Մենք կփնտրենք ցանկալի գծի հավասարումը հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է բավարարեն հետևյալ պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C/A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ապա բաժանելով -С-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,Ա բ- գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը Օ՜

Օրինակ. Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, , a = -1, b = 1:

Գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել ըստ թվի որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ*C< 0.

r- սկզբնակետից ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

Ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ. Տրված է գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0. Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելով։

Հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև ընկած սուր անկյունը

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2. Երկու ուղիղ ուղղահայաց են

Եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղիղ Ax + Wu + C = 0Եվ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ, երբ գործակիցները համաչափ են

A 1 = λA, B 1 = λB. Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղղին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը։

Սահմանում. Մի կետով անցնող գիծ M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Թեորեմ. Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),ապա ուղիղ գծի հեռավորությունը Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց. Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը ՄԵվ Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1Եվ 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով ուղղահայաց անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը. Հոդվածում" " Ես ձեզ խոստացել էի նայել ածանցյալը գտնելու ներկայացված խնդիրները լուծելու երկրորդ եղանակը՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի գրաֆիկը և այս գրաֆիկին շոշափողը։ Մենք կքննարկենք այս մեթոդը , բաց մի՛ թողեք։ Ինչո՞ւհաջորդում?

Փաստն այն է, որ այնտեղ կօգտագործվի ուղիղ գծի հավասարման բանաձեւը։ Իհարկե, մենք կարող էինք պարզապես ցույց տալ այս բանաձեւը և խորհուրդ տալ սովորել այն։ Բայց ավելի լավ է բացատրել, թե որտեղից է այն առաջացել (ինչպես է ստացվել): Սա անհրաժեշտ է! Եթե ​​դուք մոռանաք այն, կարող եք արագ վերականգնել այնդժվար չի լինի. Ամեն ինչ մանրամասն նկարագրված է ստորև: Այսպիսով, մենք ունենք երկու կետ A կոորդինատային հարթության վրա(x 1;y 1) և B(x2;y 2), ուղիղ գիծ է գծվում նշված կետերի միջով.

Ահա ինքնին ուղղակի բանաձևը.

*Այսինքն կետերի կոնկրետ կոորդինատները փոխարինելիս ստանում ենք y=kx+b ձևի հավասարում։

**Եթե դուք պարզապես «անգիր եք անում» այս բանաձևը, ապա մեծ է հավանականությունը, որ շփոթեք այն ցուցանիշների հետ, երբ. X. Բացի այդ, ինդեքսները կարող են նշանակվել տարբեր ձևերով, օրինակ.

Դրա համար կարևոր է հասկանալ իմաստը:

Այժմ այս բանաձեւի ածանցյալը. Դա շատ պարզ է!

ABE և ACF եռանկյունները սուր անկյունով նման են (ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության առաջին նշանը): Այստեղից հետևում է, որ համապատասխան տարրերի հարաբերությունները հավասար են, այսինքն.

Այժմ մենք պարզապես արտահայտում ենք այս հատվածները կետերի կոորդինատների տարբերության միջոցով.

Իհարկե, սխալ չի լինի, եթե տարրերի հարաբերությունները գրեք այլ կարգով (գլխավորը հետևողականությունը պահպանելն է).

Արդյունքը կլինի գծի նույն հավասարումը: Այս ամենը!

Այսինքն, անկախ նրանից, թե ինչպես են կետերը (և դրանց կոորդինատները) նշանակված, այս բանաձևը հասկանալով դուք միշտ կգտնեք ուղիղ գծի հավասարումը:

Բանաձևը կարող է ստացվել՝ օգտագործելով վեկտորների հատկությունները, սակայն ածանցման սկզբունքը նույնն է լինելու, քանի որ մենք խոսելու ենք դրանց կոորդինատների համաչափության մասին։ Այս դեպքում գործում է ուղղանկյուն եռանկյունների նույն նմանությունը։ Իմ կարծիքով վերը նկարագրված եզրակացությունն ավելի պարզ է))։

Դիտեք ելքը՝ օգտագործելով վեկտորային կոորդինատները >>>

Երկու տրված A(x 1;y 1) և B(x2;y 2) կետերով անցնող կոորդինատային հարթության վրա թող կառուցվի ուղիղ գիծ։ Եկեք նշենք կամայական C կետը գծի վրա կոորդինատներով ( x; y). Մենք նաև նշում ենք երկու վեկտոր.

Հայտնի է, որ զուգահեռ ուղիղների վրա (կամ նույն ուղիղի վրա) ընկած վեկտորների համար դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, այսինքն.

— գրում ենք համապատասխան կոորդինատների հարաբերությունների հավասարությունը.

Դիտարկենք օրինակ.

Գտե՛ք երկու կետերով (2;5) և (7:3) կոորդինատներով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Պետք չէ նույնիսկ ինքնուրույն կառուցել ուղիղ գիծ: Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Կարևոր է, որ դուք հասկանաք համապատասխանությունը հարաբերակցությունը կազմելիս: Դուք չեք կարող սխալվել, եթե գրեք.

Պատասխան՝ y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Որպեսզի համոզվեք, որ ստացված հավասարումը ճիշտ է գտնվել, համոզվեք, որ ստուգեք - փոխարինեք տվյալների կոորդինատները դրա մեջ գտնվող կետերի վիճակում: Հավասարումները պետք է ճիշտ լինեն:

Այսքանը: Հուսով եմ, որ նյութը օգտակար էր ձեզ համար:

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում: