Հաշվի՛ր 12-ի արմատը։ Բազմանիշ թվի քառակուսի արմատի հանում

Մեծ թվի արմատի հանում: Սիրելի բարեկամներ!Այս հոդվածում մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է հանել մեծ թվի արմատն առանց հաշվիչի: Սա անհրաժեշտ է ոչ միայն միասնական պետական ​​քննության որոշակի տեսակների խնդիրների լուծման համար (կան այնպիսիք, որոնք ներառում են շարժում), այլ նաև ընդհանուր մաթեմատիկական զարգացման համար, խորհուրդ է տրվում իմանալ այս վերլուծական տեխնիկան:

Թվում է, թե ամեն ինչ պարզ է. այն վերածել գործոնների և հանել այն: Ոչ մի խնդիր։ Օրինակ՝ 291600 թիվը, երբ ընդլայնվի, արդյունքը կտա.

Մենք հաշվարկում ենք.

Կա մեկ ԲԱՅՑ! Մեթոդը լավ է, եթե 2, 3, 4 և այլն բաժանարարները հեշտությամբ որոշվում են: Բայց ի՞նչ կլինի, եթե այն թիվը, որից մենք հանում ենք արմատը, պարզ թվերի արտադրյալ է: Օրինակ, 152881-ը 17, 17, 23, 23 թվերի արտադրյալն է: Փորձեք անմիջապես գտնել այս բաժանարարները:

Մեթոդի էությունը, որը մենք դիտարկում ենք- Սա մաքուր վերլուծություն է։ Զարգացած հմտությամբ արմատը կարելի է արագ գտնել։ Եթե ​​հմտությունը չի կիրառվել, բայց մոտեցումը պարզապես հասկացված է, ապա այն մի փոքր դանդաղ է, բայց դեռ վճռական է:

Արմատը վերցնենք 190969 թ.

Նախ, եկեք որոշենք, թե որ թվերի միջև է (հարյուրի բազմապատիկները) մեր արդյունքը:

Ակնհայտ է, որ այս թվի արմատի արդյունքը գտնվում է 400-ից 500 միջակայքում,որովհետեւ

400 2 =160000 և 500 2 =250000

Իրոք.

մեջտեղում, ավելի մոտ 160000, թե 250000?

190969 թիվը մոտավորապես միջինում է, բայց դեռ ավելի մոտ է 160000-ին: Կարող ենք եզրակացնել, որ մեր արմատի արդյունքը կլինի 450-ից փոքր: Եկեք ստուգենք.

Իսկապես, այն 450-ից պակաս է, քանի որ 190969 թ< 202 500.

Հիմա եկեք ստուգենք 440 թիվը.

Սա նշանակում է, որ մեր արդյունքը 440-ից քիչ է, քանի որ 190 969 < 193 600.

430 համարի ստուգում.

Մենք պարզել ենք, որ այս արմատի արդյունքը գտնվում է 430-ից 440 միջակայքում:

Վերջում 1 կամ 9 թվերով թվերի արտադրյալը վերջում տալիս է 1 թիվ: Օրինակ, 21-ը 21-ը հավասար է 441-ի:

Վերջում 2 կամ 8 թվերով թվերի արտադրյալը վերջում տալիս է 4 թիվ: Օրինակ՝ 18-ը 18-ով հավասար է 324-ի:

Վերջում 5-ով թվերի արտադրյալը վերջում տալիս է 5-ով թիվ: Օրինակ, 25-ը 25-ը հավասար է 625-ի:

Վերջում 4 կամ 6 թվերով թվերի արտադրյալը վերջում տալիս է 6 թիվ: Օրինակ՝ 26-ը 26-ով հավասար է 676-ի:

3 կամ 7 վերջում թվերի արտադրյալը վերջում տալիս է 9-ով թիվ: Օրինակ, 17-ը 17-ը հավասար է 289-ի:

Քանի որ 190969 թիվը ավարտվում է 9 թվով, այն կամ 433 թվի արտադրյալն է, կամ 437։

*Միայն նրանք, երբ քառակուսի են, կարող են վերջում տալ 9:

Մենք ստուգում ենք.

Սա նշանակում է, որ արմատի արդյունքը կլինի 437:

Այսինքն՝ մենք կարծես թե «գտել ենք» ճիշտ պատասխանը։

Ինչպես տեսնում եք, առավելագույնը, որ պահանջվում է, սյունակում 5 գործողություն կատարելն է: Միգուցե դուք անմիջապես կհասնեք նշակետին, կամ կատարեք ընդամենը երեք քայլ։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե որքան ճշգրիտ եք կազմում ձեր նախնական գնահատականը:

Ինքներդ հանեք 148996-ի արմատը

Խնդրում ստացվում է այսպիսի խտրականություն.

Մոտորանավը գետի երկայնքով անցնում է 336 կմ մինչև իր նպատակակետը և կանգ առնելուց հետո վերադառնում է իր մեկնման կետը։ Գտե՛ք նավի արագությունը անշարժ ջրում, եթե ընթացիկ արագությունը 5 կմ/ժ է, մնալը տևում է 10 ժամ, իսկ նավը վերադառնում է իր մեկնման կետը մեկնելուց 48 ժամ հետո։ Պատասխանեք կմ/ժ-ով:

Դիտել լուծումը

Արմատի արդյունքը գտնվում է 300 և 400 թվերի միջև.

300 2 =90000 400 2 =160000

Իրոք, 90000<148996<160000.

Հետագա պատճառաբանության էությունը հանգում է նրան, թե ինչպես է 148996 թիվը գտնվում (հեռավոր) այս թվերի համեմատ:

Եկեք հաշվարկենք տարբերությունները 148996 - 90000=58996 և 160000 - 148996=11004:

Ստացվում է, որ 148996-ը մոտ է (շատ ավելի մոտ) 160000-ին։ Հետևաբար, արմատի արդյունքը հաստատ ավելի մեծ կլինի 350-ից և նույնիսկ 360-ից։

Կարող ենք եզրակացնել, որ մեր արդյունքը 370-ից մեծ է: Ավելին, պարզ է. քանի որ 148996 թվականն ավարտվում է 6 թվով, դա նշանակում է, որ մենք պետք է քառակուսի տանք 4-ով կամ 6-ով ավարտվող թիվ: .

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Ինչպես հանել արմատը համարից։ Այս հոդվածում մենք կսովորենք, թե ինչպես վերցնել քառակուսի արմատը չորս և հնգանիշ թվերի համար:

Որպես օրինակ վերցնենք 1936 թվականի քառակուսի արմատը։

Հետևաբար, .

1936 թվի վերջին նիշը 6 թիվն է: 4-ի և 6-ի քառակուսին ավարտվում է 6-ով: Հետևաբար, 1936-ը կարող է լինել 44-ի կամ 46-ի քառակուսին: Մնում է ստուգել բազմապատկման միջոցով:

Նշանակում է,

Վերցնենք 15129 թվի քառակուսի արմատը։

Հետևաբար, .

15129 թվի վերջին նիշը 9 թիվն է: 3 թվի և 7 թվի քառակուսին ավարտվում է 9-ով: Այսպիսով, 15129-ը կարող է լինել 123 կամ 127 թվի քառակուսին: Եկեք ստուգենք բազմապատկման միջոցով:

Նշանակում է,

Ինչպես հանել արմատը - տեսանյութ

Իսկ հիմա առաջարկում եմ դիտել Աննա Դենիսովայի տեսահոլովակը. «Ինչպես հանել արմատը «, կայքի հեղինակ» Պարզ ֆիզիկա», որտեղ նա բացատրում է, թե ինչպես գտնել քառակուսի և խորանարդ արմատներ առանց հաշվիչի:

Տեսանյութում քննարկվում են արմատներ հանելու մի քանի եղանակներ.

1. Քառակուսի արմատ հանելու ամենահեշտ ձեւը:

2. Ընտրելով՝ օգտագործելով գումարի քառակուսին:

3. Բաբելոնյան մեթոդ.

4. Սյունակի քառակուսի արմատը հանելու մեթոդ.

5. Խորանարդի արմատը հանելու արագ միջոց:

6. Սյունակում խորանարդի արմատ հանելու եղանակը:

Դիտարկենք այս ալգորիթմը՝ օգտագործելով օրինակ: Մենք կգտնենք

1-ին քայլ. Արմատի տակի թիվը բաժանում ենք երկնիշ դեմքերի (աջից ձախ).

2-րդ քայլ. Վերցնում ենք առաջին դեմքի քառակուսի արմատը, այսինքն՝ 65 թվից ստանում ենք 8 թիվը։ Առաջին դեմքի տակ գրում ենք 8 թվի քառակուսին և հանում։ Մնացածին վերագրում ենք երկրորդ դեմքը (59).

(թիվ 159 առաջին մնացորդն է):

3-րդ քայլ. Մենք կրկնապատկում ենք գտնված արմատը և արդյունքը գրում ձախ կողմում.

4-րդ քայլ. Մնացածի մեջ աջ կողմում առանձնացնում ենք մեկ թվանշան (159), իսկ ձախից ստանում ենք տասնյակների թիվը (հավասար է 15-ի)։ Այնուհետև 15-ը բաժանում ենք արմատի առաջին թվանշանի կրկնակի, այսինքն՝ 16-ի, քանի որ 15-ը չի բաժանվում 16-ի, քանորդից ստացվում է զրո, որը գրում ենք որպես արմատի երկրորդ նիշ։ Այսպիսով, քանորդում ստացանք 80 թիվը, որը նորից կրկնապատկում ենք և հանում հաջորդ եզրը

(15901 թիվը երկրորդ մնացորդն է)։

5-րդ քայլ. Երկրորդ մնացորդում աջից առանձնացնում ենք մեկ թվանշան և ստացված 1590 թիվը բաժանում ենք 160-ի: Արդյունքը (թիվ 9) գրում ենք որպես արմատի երրորդ նիշ և ավելացնում ենք 160 թվին: Ստացված 1609 թիվը բազմապատկում ենք. 9 և գտե՛ք հաջորդ մնացորդը (1420).

Հետագայում գործողությունները կատարվում են ալգորիթմում նշված հաջորդականությամբ (արմատը կարող է արդյունահանվել անհրաժեշտ աստիճանի ճշգրտությամբ):

Մեկնաբանություն. Եթե ​​արմատական ​​արտահայտությունը տասնորդական կոտորակ է, ապա դրա ամբողջ մասը բաժանվում է երկու նիշերի եզրերի՝ աջից ձախ, կոտորակային մասը՝ երկու նիշի ձախից աջ, իսկ արմատը հանվում է նշված ալգորիթմի համաձայն։

ԴԻԴԱԿՏԻԿ ՆՅՈՒԹ

1. Վերցրեք թվի քառակուսի արմատը՝ ա) 32; բ) 32,45; գ) 249,5; դ) 0,9511.

Իր առաջին հրատարակության՝ «Հնարամտության թագավորությունում» (1908) նախաբանում Է.Ի.Իգնատիևը գրում է. Արդյունքները հավաստի են միայն այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գիտելիքների ոլորտը ներմուծվում է հեշտ և հաճելի ձևով՝ օգտագործելով առարկաներ և օրինակներ սովորական և կենցաղային իրավիճակներից՝ ընտրված համապատասխան խելքով և զվարճանքով»։

1911 թվականի «Հիշողության դերը մաթեմատիկայի մեջ» հրատարակության նախաբանում Է.Ի. Իգնատիևը գրում է. «...մաթեմատիկայում ոչ թե բանաձևերը պետք է հիշել, այլ մտածելու գործընթացը»։

Քառակուսի արմատը հանելու համար կան երկնիշ թվերի համար նախատեսված քառակուսիների աղյուսակներ, որոնց թիվը կարող է վերածվել պարզ գործոնների և հանել արտադրյալի քառակուսի արմատը: Քառակուսիների աղյուսակը երբեմն բավարար չէ ֆակտորինգի միջոցով արմատ հանելը ժամանակատար խնդիր է, որը նույնպես միշտ չէ, որ հանգեցնում է ցանկալի արդյունքի: Փորձե՞ք վերցնել 209764 քառակուսի արմատը: Հիմնական գործակիցների մեջ ֆակտորինգը տալիս է արտադրյալին 2*2*52441: Փորձի և սխալի միջոցով ընտրություն - սա, իհարկե, կարելի է անել, եթե վստահ եք, որ սա ամբողջ թիվ է: Մեթոդը, որը ես ուզում եմ առաջարկել, թույլ է տալիս ցանկացած դեպքում վերցնել քառակուսի արմատը:

Ժամանակին ինստիտուտում (Պերմի պետական ​​մանկավարժական ինստիտուտ) մեզ ներկայացրին այս մեթոդը, որի մասին հիմա ուզում եմ խոսել։ Ես երբեք չեմ մտածել, թե արդյոք այս մեթոդն ունի ապացույց, ուստի հիմա ես ստիպված էի ինքս եզրակացնել որոշ ապացույցներ:

Այս մեթոդի հիմքը = թվի կազմությունն է:

=&, այսինքն. & 2 =596334.

1. Թիվը (5963364) աջից ձախ բաժանիր զույգերի (5`96`33`64)

2. Ձախ կողմում առաջին խմբի քառակուսի արմատը հանեք ( - թիվ 2): Այսպես մենք ստանում ենք &-ի առաջին թվանշանը:

3. Գտի՛ր առաջին թվանշանի քառակուսին (2 2 =4):

4. Գտի՛ր առաջին խմբի և առաջին թվանշանի քառակուսու տարբերությունը (5-4=1):

5. Մենք հանում ենք հաջորդ երկու թվանշանները (ստացվում է 196 թիվը):

6. Կրկնապատկեք մեր գտած առաջին թվանշանը և գրեք այն տողի հետևի ձախ կողմում (2*2=4):

7. Այժմ մենք պետք է գտնենք թվի երկրորդ նիշը և. կրկնակի մեր գտած առաջին թվանշանը դառնում է թվի տասնյակ նիշ, որը, երբ բազմապատկենք միավորների թվով, պետք է ստանալ 196-ից փոքր թիվ (սա թիվ 4, 44*4=176): 4-ը &-ի երկրորդ թվանշանն է:

8. Գտի՛ր տարբերությունը (196-176=20):

9. Քանդում ենք հաջորդ խումբը (ստացվում է 2033 թիվը):

10. Կրկնապատկել 24 թիվը, ստանում ենք 48։

Թվի մեջ կա 11,48 տասնյակ, մեկերի թվով բազմապատկելիս պետք է ստանանք 2033-ից փոքր թիվ (484*4=1936)։ Մեր գտած մեկ թվանշանը (4) & թվի երրորդ նիշն է:

Ես տվել եմ ապացույց հետևյալ դեպքերի համար.

1. Եռանիշ թվի քառակուսի արմատի հանում;

2. Քառանիշ թվի քառակուսի արմատի հանում:

Քառակուսի արմատներ հանելու մոտավոր մեթոդներ (առանց հաշվիչի օգտագործման):

1. Հին բաբելոնացիներն օգտագործել են հետևյալ մեթոդը՝ իրենց x թվի քառակուսի արմատի մոտավոր արժեքը գտնելու համար. Նրանք x թիվը ներկայացրեցին որպես a 2 + b գումար, որտեղ a 2-ը a բնական թվի ճշգրիտ քառակուսին է (a 2 ? x) ամենամոտ x թվին և օգտագործեցին բանաձևը. . (1)

Օգտագործելով (1) բանաձևը, մենք քառակուսի արմատ ենք հանում, օրինակ, 28 թվից.

MK-ի միջոցով 28-ի արմատը հանելու արդյունքը 5.2915026 է։

Ինչպես տեսնում եք, բաբելոնյան մեթոդը լավ մոտարկում է տալիս արմատի ճշգրիտ արժեքին:

2. Իսահակ Նյուտոնը մշակել է քառակուսի արմատներ հանելու մեթոդ, որը սկիզբ է առել Հերոն Ալեքսանդրիայից (մոտ 100 թ.): Այս մեթոդը (հայտնի է որպես Նյուտոնի մեթոդ) հետևյալն է.

Թող ա 1- թվի առաջին մոտարկումը (որպես 1 կարող եք վերցնել բնական թվի քառակուսի արմատի արժեքները՝ ճշգրիտ քառակուսի, որը չի գերազանցում X) .

Հաջորդը, ավելի ճշգրիտ մոտարկում ա 2թվեր հայտնաբերված բանաձևով .

Ուսանողները միշտ հարցնում են. «Ինչու ես չեմ կարող օգտագործել հաշվիչը մաթեմատիկայի քննության ժամանակ: Ինչպե՞ս հանել թվի քառակուսի արմատը առանց հաշվիչի: Փորձենք պատասխանել այս հարցին։

Ինչպե՞ս հանել թվի քառակուսի արմատը առանց հաշվիչի օգնության:

Գործողություն քառակուսի արմատհակադարձ քառակուսիների գործողությանը:

√81= 9 9 2 =81

Եթե ​​վերցնենք դրական թվի քառակուսի արմատը և արդյունքը քառակուսի դարձնենք, կստանաս նույն թիվը։

Փոքր թվերից, որոնք բնական թվերի ճշգրիտ քառակուսիներ են, օրինակ՝ 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, քառակուսի արմատները կարելի է հանել բանավոր: Սովորաբար դպրոցում սովորեցնում են մինչև քսան բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակ: Իմանալով այս աղյուսակը՝ հեշտ է քառակուսի արմատներ հանել 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 թվերից: 400-ից մեծ թվերից կարող եք դրանք հանել ընտրության մեթոդով՝ օգտագործելով որոշ խորհուրդներ: Փորձենք դիտարկել այս մեթոդը օրինակով:

Օրինակ: Հանի՛ր 676 թվի արմատը.

Մենք նկատում ենք, որ 20 2 = 400, իսկ 30 2 = 900, ինչը նշանակում է 20< √676 < 900.

Բնական թվերի ճշգրիտ քառակուսիները վերջանում են 0-ով; 1; 4; 5; 6; 9.
6 թիվը տրվում է 4 2 և 6 2 թվերով:
Սա նշանակում է, որ եթե արմատը վերցված է 676-ից, ապա այն կա՛մ 24 է, կա՛մ 26։

Մնում է ստուգել՝ 24 2 = 576, 26 2 = 676:

Պատասխան. √676 = 26 .

Ավելին օրինակ: √6889 .

Քանի որ 80 2 = 6400, իսկ 90 2 = 8100, ապա 80< √6889 < 90.
9 թիվը տրվում է 3 2-ով և 7 2-ով, ապա √6889-ը հավասար է կամ 83-ի կամ 87-ի:

Եկեք ստուգենք՝ 83 2 = 6889։

Պատասխան. √6889 = 83 .

Եթե ​​դժվարանում եք լուծել ընտրության մեթոդով, կարող եք ֆակտորիզացնել արմատական ​​արտահայտությունը:

Օրինակ, գտնել √893025.

Հաշվարկենք 893025 թիվը, հիշեք, դուք դա արել եք վեցերորդ դասարանում։

Մենք ստանում ենք՝ √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945:

Ավելին օրինակ՝ √20736. Հաշվարկենք 20736 թիվը.

Մենք ստանում ենք √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144:

Իհարկե, ֆակտորիզացիան պահանջում է բաժանելիության նշանների իմացություն և ֆակտորացման հմտություններ:

Եվ վերջապես, կա քառակուսի արմատներ հանելու կանոն. Այս կանոնին ծանոթանանք օրինակներով։

Հաշվիր √279841.

Բազմանիշ ամբողջ թվի արմատը հանելու համար այն աջից ձախ բաժանում ենք 2 նիշ պարունակող դեմքերի (ձախ եզրը կարող է պարունակել մեկ թվանշան): Մենք գրում ենք այսպես՝ 27’98’41

Արմատի առաջին նիշը (5) ստանալու համար մենք վերցնում ենք ամենամեծ կատարյալ քառակուսու արմատը, որը պարունակվում է ձախ կողմում գտնվող առաջին դեմքին (27):
Այնուհետև արմատի առաջին թվանշանի քառակուսին (25) հանվում է առաջին դեմքից, իսկ հաջորդ դեմքը (98) ավելացվում է տարբերությանը (հանվում):
Ստացված 298 թվից ձախ գրեք արմատի երկնիշը (10), դրա վրա բաժանեք նախկինում ստացված թվի բոլոր տասնյակների թիվը (29/2 ≈ 2), փորձարկեք գործակիցը (102 ∙ 2 = 204): պետք է լինի ոչ ավելի, քան 298) և գրեք (2) արմատի առաջին թվանշանից հետո:
Այնուհետև ստացված 204 գործակիցը հանվում է 298-ից և հաջորդ եզրը (41) ավելացվում է տարբերությանը (94):
Ստացված 9441 թվից ձախ գրեք արմատի թվանշանների կրկնակի արտադրյալը (52 ∙2 = 104), 9441 թվի բոլոր տասնյակների թիվը (944/104 ≈ 9) բաժանեք այս արտադրյալի վրա, փորձարկեք քանորդը (1049 ∙9 = 9441) պետք է լինի 9441 և գրի առեք այն (9) արմատի երկրորդ թվանշանից հետո:

Մենք ստացանք √279841 = 529 պատասխանը։

Քաղեք նույն կերպ տասնորդական կոտորակների արմատները. Միայն արմատական ​​թիվը պետք է բաժանվի դեմքերի, որպեսզի ստորակետը լինի դեմքերի միջև:

Օրինակ. Գտեք √0.00956484 արժեքը:

Պարզապես հիշեք, որ եթե տասնորդական կոտորակը ունի կենտ թվով տասնորդական թվեր, քառակուսի արմատը չի կարող հանվել դրանից:

Այսպիսով, այժմ դուք տեսել եք արմատը հանելու երեք եղանակ: Ընտրեք մեկը, որը լավագույնս համապատասխանում է ձեզ և փորձեք: Խնդիրները լուծել սովորելու համար հարկավոր է լուծել դրանք: Եվ եթե ունեք հարցեր, .

blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը: