Հաշվեք առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը առցանց: Դաս «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով

Սահմանում 3. Հեղափոխության մարմինը այն մարմինն է, որը ստացվում է հարթ պատկերը առանցքի շուրջը պտտելով, որը չի հատում պատկերը և ընկած է նրա հետ նույն հարթության վրա:

Պտտման առանցքը կարող է հատել նկարը, եթե դա պատկերի համաչափության առանցքն է:

Թեորեմ 2.
, առանցք
և ուղիղ հատվածներ
Եվ

պտտվում է առանցքի շուրջ
. Այնուհետև արդյունքում ստացված պտտման մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

(2)

Ապացույց. Նման մարմնի համար խաչաձեւ հատվածը աբսցիսով շառավղով շրջան է
, Նշանակում է
և (1) բանաձևը տալիս է պահանջվող արդյունքը:

Եթե ​​թիվը սահմանափակվում է երկու շարունակական ֆունկցիաների գրաֆիկներով
Եվ
և գծերի հատվածներ
Եվ
, և
Եվ
, ապա x առանցքի շուրջ պտտվելիս ստանում ենք մարմին, որի ծավալը

Օրինակ 3. Հաշվե՛ք տորուսի ծավալը, որը ստացվում է շրջանով սահմանափակված շրջանը պտտելով

abscissa առանցքի շուրջ:

Ռ որոշումը։ Ստորև նշված շրջանակը սահմանափակվում է ֆունկցիայի գրաֆիկով
և վերևից -
. Այս ֆունկցիաների քառակուսիների տարբերությունը.

Պահանջվող ծավալը

(Ինտեգրանդի գրաֆիկը վերին կիսաշրջանն է, ուստի վերևում գրված ինտեգրալը կիսաշրջանի մակերեսն է):

Օրինակ 4. Պարաբոլիկ հատված՝ հիմքով
, և բարձրությունը , պտտվում է հիմքի շուրջ։ Հաշվե՛ք ստացված մարմնի ծավալը (Կավալիերիի «կիտրոն»):

Ռ որոշումը։ Մենք կտեղադրենք պարաբոլան, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Այնուհետև դրա հավասարումը
, և
. Գտնենք պարամետրի արժեքը :
. Այսպիսով, պահանջվող ծավալը.

Թեորեմ 3. Թող կորագիծ տրապիզը սահմանափակված լինի շարունակական ոչ բացասական ֆունկցիայի գրաֆիկով
, առանցք
և ուղիղ հատվածներ
Եվ
, և
, պտտվում է առանցքի շուրջ
. Այնուհետև ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է գտնել բանաձևով

(3)

Ապացուցման գաղափարը. Մենք բաժանում ենք հատվածը
կետեր

, մասերի և ուղիղ գծեր քաշեք
. Ամբողջ trapezoid-ը կքայքայվի շերտերի, որոնք կարելի է համարել հիմքով մոտավորապես ուղղանկյուններ
և բարձրությունը
.

Մենք կտրում ենք ստացված գլանը՝ պտտելով այդպիսի ուղղանկյունը իր գեներատորի երկայնքով և բացում այն։ Մենք ստանում ենք «գրեթե» զուգահեռաչափ՝ չափսերով.
,
Եվ
. Դրա ծավալը
. Այսպիսով, հեղափոխության մարմնի ծավալի համար մենք կունենանք մոտավոր հավասարություն

Ճշգրիտ հավասարություն ստանալու համար պետք է գնալ մինչև սահմանաչափը
. Վերևում գրված գումարը ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարն է
, հետևաբար, սահմանում մենք ստանում ենք ինտեգրալը (3) բանաձևից։ Թեորեմն ապացուցված է.

Ծանոթագրություն 1. 2-րդ և 3-րդ թեորեմներում պայմանը
կարելի է բաց թողնել. բանաձևը (2) ընդհանուր առմամբ անզգայուն է նշանի նկատմամբ
, իսկ (3) բանաձեւում դա բավական է
փոխարինվել է
.

Օրինակ 5. Պարաբոլիկ հատված (հիմք
, բարձրություն ) պտտվում է բարձրության շուրջ: Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում. Տեղադրենք պարաբոլան, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Եվ չնայած պտտման առանցքը հատում է պատկերը, այն՝ առանցքը, համաչափության առանցք է: Հետեւաբար, մենք պետք է հաշվի առնենք հատվածի միայն աջ կեսը: Պարաբոլայի հավասարում
, և
, Նշանակում է
. Ծավալի համար ունենք.

Ծանոթագրություն 2. Եթե ​​կորագիծ տրապիզոնի կորագիծ սահմանը տրված է պարամետրային հավասարումներով
,
,
Եվ
,
ապա փոխարինման հետ կարող եք օգտագործել (2) և (3) բանաձևերը վրա
Եվ
վրա
երբ այն փոխվում է տ-ից
նախքան .

Օրինակ 6. Գործիչը սահմանափակվում է ցիկլոիդի առաջին աղեղով
,
,
, և x առանցքը: Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս ցուցանիշը պտտելով՝ 1) առանցքի շուրջը
; 2) կացիններ
.

Լուծում. 1) Ընդհանուր բանաձև
Մեր դեպքում.

2) Ընդհանուր բանաձեւ
Մեր գործչի համար.

Հրավիրում ենք ուսանողներին ինքնուրույն կատարել բոլոր հաշվարկները։

Ծանոթագրություն 3. Թող կոր հատվածը սահմանափակված լինի շարունակական գծով
և ճառագայթներ
,

, պտտվում է բևեռային առանցքի շուրջ։ Ստացված մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Օրինակ 7. Կարդիոիդով սահմանափակված գործչի մի մասը
, շրջանից դուրս պառկած
, պտտվում է բևեռային առանցքի շուրջ։ Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

Լուծում. Երկու գծերն էլ, հետևաբար և նրանց սահմանած գործիչը, սիմետրիկ են բևեռային առանցքի նկատմամբ: Ուստի անհրաժեշտ է դիտարկել միայն այն մասը, որի համար
. Կորերը հատվում են ժամը
Եվ

ժամը
. Այնուհետև, թիվը կարելի է համարել որպես երկու հատվածների տարբերություն, և, հետևաբար, ծավալը կարող է հաշվարկվել որպես երկու ինտեգրալների տարբերություն: Մենք ունենք:

Առաջադրանքներ անկախ որոշման համար։

1. Շրջանաձև հատված, որի հիմքը
, բարձրություն , պտտվում է հիմքի շուրջ։ Գտեք պտտման մարմնի ծավալը:

2. Գտի՛ր հեղափոխության պարաբոլոիդի ծավալը, որի հիմքը , իսկ բարձրությունն է .

3. Աստրոիդով սահմանափակված պատկեր
,
պտտվում է աբսցիսայի առանցքի շուրջ: Գտե՛ք ստացված մարմնի ծավալը:

4. Գծերով սահմանափակված պատկեր
Եվ
պտտվում է x առանցքի շուրջ: Գտեք պտտման մարմնի ծավալը:

հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Օրինակ 3

Տրվում է հարթ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , .

1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը:

2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ուզում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, առաջինը Պարտադիրկարդա առաջինը!

ԼուծումԱռաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք նկարենք.

Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքին է ընկած»։

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնվի, ստվերված է կապույտով:

Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «նորմալ» ձևով։ Ավելին, նկարի մակերեսը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար.

- հատվածի վրա ;

- հատվածի վրա.

Ահա թե ինչու:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։

Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.

Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.

Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Այս դեպքում, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. . Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:

! Նշում Առանցքների ինտեգրման սահմաններ պետք է տեղադրվիխստորեն ներքեւից վերեւ !

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:

Պատասխանել:

2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է առանցքի շուրջ այս գործչի պտույտից:

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:

Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:

Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն։ Այս ծավալը նշանակենք .

Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք ստացված պտտման մարմնի ծավալով։

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.

Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել , այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ եթե նույն հարթ գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջ, դուք կստանաք պտտման բոլորովին այլ մարմին, բնականաբար, այլ ծավալով:

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք կորերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը և .

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Ճանապարհին մենք ծանոթանում ենք մի քանի այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներին։ Ահա զույգ ֆունկցիայի հետաքրքիր գրաֆիկ...

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար բավական է օգտագործել նկարի աջ կեսը, որը ես ստվերել եմ կապույտով։ Երկու ֆունկցիաներն էլ զույգ են, դրանց գրաֆիկները սիմետրիկ են առանցքի նկատմամբ, իսկ մեր պատկերը սիմետրիկ է։ Այսպիսով, առանցքի շուրջ պտտվող ստվերավորված աջ մասը, անշուշտ, կհամընկնի ձախ չստվերված մասի հետ։

Թեմա՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»

Դասի տեսակը.համակցված.

Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել պտտման մարմինների ծավալները:

Առաջադրանքներ.

համախմբել մի շարք երկրաչափական պատկերներից կորագիծ տրապիզոիդները բացահայտելու կարողությունը և զարգացնել կորագիծ տրապիզոիդների տարածքները հաշվարկելու հմտությունը.

ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;

սովորել հաշվարկել պտտվող մարմինների ծավալները.

նպաստել տրամաբանական մտածողության, գրագետ մաթեմատիկական խոսքի զարգացմանը, գծագրերը կառուցելիս ճշգրտությանը.

զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, գործել մաթեմատիկական հասկացությունների և պատկերների հետ, զարգացնել կամք, անկախություն և հաստատակամություն վերջնական արդյունքի հասնելու համար:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Ողջույններ խմբից: Ուսանողներին հաղորդել դասի նպատակները:

Այսօրվա դասը կցանկանայի սկսել առակով. «Մի ժամանակ ապրում էր մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Թիթեռը ափերի մեջ բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է ձեռքումս՝ մեռա՞ծ, թե՞ կենդանի»։ Եվ նա մտածում է. Իմաստունը մտածելուց հետո պատասխանեց. «Ամեն ինչ քո ձեռքերում է»:

Հետևաբար, եկեք այսօր բեղմնավոր աշխատենք, ձեռք բերենք գիտելիքների նոր պաշար և ձեռք բերված հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք ապագա կյանքում և գործնականում «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է»:

II. Նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնություն:

Հիշենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը. Դա անելու համար եկեք կատարենք «Վերացնել ավելորդ բառը» առաջադրանքը:

(Ուսանողները ասում են լրացուցիչ բառ):

Ճիշտ «Դիֆերենցիալ».Մնացած բառերը փորձեք անվանել մեկ ընդհանուր բառով: (Ամբողջական հաշվարկ):

Եկեք հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները:

Զորավարժություններ.Վերականգնել բացերը. (Աշակերտը դուրս է գալիս և մարկերով գրում է անհրաժեշտ բառերը):

Աշխատեք նոթատետրերում:

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը ստացվել է անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնի (1643-1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցի (1646-1716) կողմից: Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:

Եկեք քննարկենք, թե ինչպես է այս բանաձևը օգտագործվում գործնական խնդիրներ լուծելու համար:

Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում:Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային հարթության վրա . Եկեք ընտրենք գործչի տարածքը, որը պետք է գտնել:

III. Նոր նյութ սովորելը.

Ուշադրություն դարձրեք էկրանին. Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):

Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):

Տիեզերքում, երկրի վրա և առօրյա կյանքում մենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ պատկերների, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս կարող ենք հաշվել այդպիսի մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։

Մարդիկ ծավալի մասին մտածում են ինչպես տներ կառուցելիս, այնպես էլ ջուրը մի նավից մյուսը լցնելիս։ Այլ հարց է, թե որքանով էին դրանք ճշգրիտ և հիմնավորված:

Ավստրիական Լինց քաղաքի բնակիչների համար, որտեղ ապրել է հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, հատկապես խաղողի համար, 1612 թվականը շատ բեղմնավոր է եղել։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։

Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատանքները նշանավորեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի սկիզբը, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում։ դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի Լայբնից. Այդ ժամանակվանից մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել փոփոխականների մաթեմատիկան։

Այսօր ես և դու զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.

Մեր դասի թեման՝ «Պտտման մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»։

Դուք կսովորեք հեղափոխության մարմնի սահմանումը կատարելով հետևյալ առաջադրանքը.

«Լաբիրինթոս».

Զորավարժություններ.Գտեք ելք շփոթեցնող իրավիճակից և գրեք սահմանումը:

IVԾավալների հաշվարկ.

Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, դուք կարող եք հաշվարկել որոշակի մարմնի, մասնավորապես, հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմինը այն մարմինն է, որը ստացվում է կոր տրապիզոնի հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկի միջոցով:

1. OX առանցքի շուրջ:

2. , եթե կոր trapezoid-ի պտույտը op-amp-ի առանցքի շուրջ:

Աշակերտները նոթատետրում գրում են հիմնական բանաձևերը:

Ուսուցիչը բացատրում է գրատախտակին դրված օրինակների լուծումները:

1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագծային տրապիզոնի օրդինատային առանցքի շուրջ պտտվելուց. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:

Լուծում.

Պատասխան՝ 1163 սմ3։

2. Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է x-ի առանցքի շուրջ պարաբոլիկ տրապիզոիդը պտտելով. y =, x = 4, y = 0:

Լուծում.

Վ. Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.

2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է

Ա) անորոշ ինտեգրալ,

բ) գործառույթ,

Բ) տարբերակում.

7. Գտե՛ք գծերով սահմանափակված կորագծային տրապիզոնի աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելուց ստացված մարմնի ծավալը.

Դ/Զ. Նոր նյութի համախմբում

Հաշվի՛ր x առանցքի շուրջ ծաղկաթերթի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը y = x2, y2 = x.

Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y = x2, y2 = x. Փոխակերպենք y2 = x գրաֆիկը y = ձևի:

Մենք ունենք V = V1 - V2 Հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը.

Եզրակացություն:

Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության որոշակի հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում ունի գործնական խնդիրների լուծման գործում։

«Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև:

Ժամանակակից գիտության զարգացումն անհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալի օգտագործման։ Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել միջնակարգ մասնագիտացված կրթության շրջանակներում։

VI. Գնահատում.(Մեկնաբանությամբ):

Մեծն Օմար Խայամ - մաթեմատիկոս, բանաստեղծ, փիլիսոփա: Նա խրախուսում է մեզ լինել մեր սեփական ճակատագրի տերը: Լսենք նրա ստեղծագործությունից մի հատված.

Ասում ես՝ այս կյանքը մի պահ է։
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է:

I. Հեղափոխության մարմինների հատորներ. Նախնական ուսումնասիրեք Գ.Մ.Ֆիխտենգոլցի դասագրքից XII գլուխը, պարբերություններ 197, 198 * Մանրամասն վերլուծեք 198-րդ պարբերությունում բերված օրինակները։

508. Հաշվի՛ր Եզի առանցքի շուրջ էլիպսը պտտելուց առաջացած մարմնի ծավալը։

Այսպիսով,

530. Գտե՛ք y = sin x սինուսոիդ աղեղի Ox առանցքի շուրջ պտտմամբ առաջացած մակերեսը X = 0 կետից մինչև X = It կետը:

531. Հաշվե՛ք h բարձրությամբ և r շառավղով կոնի մակերեսը։

532. Հաշվի՛ր առաջացած մակերեսը

astroid x3 -)- y* - a3 պտույտը Ox առանցքի շուրջ:

533. Հաշվե՛ք 18 ug - x (6 - x) z կորի օղակը Ox առանցքի շուրջ պտտելով առաջացած մակերեսի մակերեսը։

534. Գտի՛ր Օքսի առանցքի շուրջ X2 - j - (y-3)2 = 4 շրջանագծի պտույտից առաջացած տորսի մակերեսը։

535. Հաշվե՛ք X = a արժեք, y = asint Ox առանցքի շուրջը շրջանագծի պտույտից առաջացած մակերեսի մակերեսը:

536. Հաշվի՛ր օքսի առանցքի շուրջ x = 9t2, y = St - 9t3 կորի օղակի պտույտից առաջացած մակերեսը։

537. Գտի՛ր կորի աղեղի պտույտից գոյացած մակերեսի մակերեսը x = e*sint, y = el արժեքը Ox առանցքի շուրջ.

t = 0-ից t = —.

538. Ցույց տվեք, որ Oy առանցքի շուրջ ցիկլոիդ աղեղի x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) պտույտից առաջացած մակերեսը հավասար է 16 u2 o2:

539. Գտի՛ր բևեռային առանցքի շուրջ կարդիոիդը պտտելով ստացված մակերեսը։

540. Գտի՛ր լեմնիսկատի պտույտից առաջացած մակերեսի մակերեսը Բևեռային առանցքի շուրջ.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ IV գլխի համար

Ինքնաթիռների ֆիգուրների տարածքները

541. Գտեք կորով սահմանափակված շրջանի ամբողջ տարածքը Իսկ առանցքը Ox.

542. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Իսկ առանցքը Ox.

543. Գտե՛ք շրջանի տարածքի այն մասը, որը գտնվում է առաջին քառորդում և սահմանափակված է կորով

լ կոորդինատային առանցքներ.

544. Գտեք ներսում պարունակվող շրջանի տարածքը

հանգույցներ:

545. Գտե՛ք կորի մեկ օղակով սահմանափակված շրջանի մակերեսը.

546. Գտե՛ք օղակի ներսում պարունակվող շրջանի տարածքը.

547. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Իսկ առանցքը Ox.

548. Գտե՛ք կորով սահմանափակված շրջանի մակերեսը

Իսկ առանցքը Ox.

549. Գտե՛ք Oxr առանցքով սահմանափակված շրջանի տարածքը

ուղիղ և կոր

Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը
օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:

Ընդհանուր առմամբ, ինտեգրալ հաշվարկում կան շատ հետաքրքիր կիրառություններ, օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, կարող եք հաշվարկել գործչի տարածքը, պտտման մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, մակերեսի մակերեսը. ռոտացիա և շատ ավելին: Այնպես որ, զվարճալի կլինի, խնդրում եմ լավատես եղեք:

Պատկերացրեք մի հարթ պատկեր կոորդինատային հարթության վրա: Ներկայացրե՞լ է: ... Հետաքրքիր է, թե ով ինչ ներկայացրեց... =))) Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.

- abscissa առանցքի շուրջ;
- օրդինատների առանցքի շուրջը.

Այս հոդվածը կքննարկի երկու դեպքերը: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն առաջացնում է ամենաշատ դժվարությունները, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ ավելի տարածված x-առանցքի շուրջը: Որպես բոնուս, ես կվերադառնամ գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր, և ես ձեզ կասեմ, թե ինչպես գտնել տարածքը երկրորդ եղանակով ՝ առանցքի երկայնքով: Դա այնքան էլ բոնուս չէ, քանի որ նյութը լավ տեղավորվում է թեմայի մեջ:

Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:

հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է առանցքի շուրջ գծերով սահմանափակված պատկերը պտտելով:

ԼուծումԻնչպես տարածքը գտնելու հարցում, լուծումը սկսվում է հարթ գործչի նկարով. Այսինքն, հարթության վրա անհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված պատկեր և մի մոռացեք, որ հավասարումը նշում է առանցքը: Ինչպես ավելի արդյունավետ և արագ ավարտել նկարը, կարելի է գտնել էջերում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկություններըԵվ . Սա չինական հիշեցում է, և այս պահին ես ավելին չեմ անդրադառնա:

Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.

Ցանկալի հարթ ուրվագիծը ստվերում է առանցքի շուրջը: Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, բայց ես չափազանց ծույլ եմ որևէ բան պարզաբանել տեղեկագրքում, ուստի մենք առաջ ենք շարժվում:

Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով:

Բանաձևում թիվը պետք է լինի ինտեգրալից առաջ: Այդպես էլ եղավ՝ այն ամենը, ինչ պտտվում է կյանքում, կապված է այս հաստատունի հետ։

Կարծում եմ, հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է լրացված գծագրից սահմանել «a» և «be» ինտեգրման սահմանները:

Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը. Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևում գտնվող պարաբոլայի գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:

Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ինտեգրանդը քառակուսի է ինտեգրալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը շատ տրամաբանական է։

Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը՝ օգտագործելով այս բանաձևը.

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխանել:

Ձեր պատասխանում պետք է նշեք չափը՝ խորանարդ միավոր: Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան կանաչ տղամարդու կարող է ձեր երևակայությունը տեղադրել թռչող ափսեի մեջ:

Գտե՛ք գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը,

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։

Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսայի առանցքի շուրջը, որը սահմանափակված է գծերով, և

ԼուծումԵկեք գծագրում պատկերենք հարթ գործիչ, որը սահմանափակված է , , , գծերով, առանց մոռանալու, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.

Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է իր առանցքի շուրջ, պարզվում է, որ այն չորս անկյուններով սյուրռեալիստական ​​բլիթ է:

Հաշվարկենք հեղափոխության մարմնի ծավալը որպես մարմինների ծավալների տարբերություն.

Նախ, եկեք նայենք կարմիրով շրջանակված գործչին: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Այս կտրված կոնի ծավալը նշանակենք .

Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչով: Եթե ​​այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նրա ծավալը նշանակենք .

Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) Պտտման ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխանել:

Հետաքրքիր է, որ այս դեպքում լուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու դպրոցական բանաձևը։

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է գրվում, այսպես.

Հիմա եկեք մի փոքր հանգստանանք և պատմենք ձեզ երկրաչափական պատրանքների մասին:

Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում հատորների հետ կապված, ինչը գրքում նկատել է Պերելմանը (մյուսը)։ Զվարճալի երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 քառակուսի մետր սենյակին համարժեք հեղուկ, որը, ընդհակառակը, չափազանց փոքր ծավալ է թվում։

Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.

Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է պտտվելով հարթ պատկերի առանցքի շուրջը, որը սահմանափակված է ուղիղներով, , որտեղ .

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր դեպքերը տեղի են ունենում նվագախմբում, այլ կերպ ասած, իրականում տրված են ինտեգրման պատրաստի սահմաններ։ Ճիշտ գծե՛ք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, հիշեցնեմ դասի նյութը գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումներեթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի՝ , ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Ցանկալի է գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակներիգծանկարն ավելի ճշգրիտ ավարտելու համար: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։

Պտույտով առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկ
հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Օրդինատների առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին սովորական հյուր է թեստային աշխատանքում: Ճանապարհին այն կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիրերկրորդ մեթոդը առանցքի երկայնքով ինտեգրումն է, դա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի գտնել լուծման առավել շահավետ ճանապարհը: Դրա մեջ կա նաև գործնական կյանքի իմաստ: Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շատ շրջանավարտներ շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակին =):

Ես դա խորհուրդ եմ տալիս բոլորին, նույնիսկ ամբողջական խաբեբաներին: Ավելին, երկրորդ պարբերությունում սովորած նյութը անգնահատելի օգնություն կցուցաբերի կրկնակի ինտեգրալների հաշվարկման հարցում..

Տրվում է հարթ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , .

1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը:
2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, համոզվեք, որ նախ կարդացեք առաջինը:

ԼուծումԱռաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք նկարենք.

Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքին է ընկած»։

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնվի, ստվերված է կապույտով:

Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «սովորական» ձևով, որը քննարկվել է դասարանում Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը. Ավելին, նկարի մակերեսը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար.
- հատվածի վրա ;
- հատվածի վրա.

Ահա թե ինչու:

Ինչո՞ւ է այս դեպքում սովորական լուծումը վատ: Նախ, մենք ստացանք երկու ինտեգրալ. Երկրորդ, ինտեգրալների տակ արմատներ կան, իսկ ինտեգրալների արմատները նվեր չեն, և բացի այդ, կարելի է շփոթվել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս։ Իրականում, ինտեգրալները, իհարկե, սպանիչ չեն, բայց գործնականում ամեն ինչ կարող է շատ ավելի տխուր լինել, ես պարզապես ընտրեցի «ավելի լավ» գործառույթներ խնդրի համար:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։

Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.

Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.

Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Այս դեպքում, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. . Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:

! ՆշումՊետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմանները խստորեն ներքեւից վերեւ!

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Խնդրում եմ ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:

Պատասխանել:

2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է առանցքի շուրջ այս գործչի պտույտից:

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:

Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:

Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն։ Այս ծավալը նշանակենք .

Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք ստացված պտտման մարմնի ծավալով։

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.

Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել , այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։

Պատասխանել:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ եթե նույն հարթ գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջ, դուք կստանաք պտտման բոլորովին այլ մարմին, բնականաբար, այլ ծավալով:

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով:

1) Գնացեք հակադարձ ֆունկցիաներ և գտեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է այս տողերով՝ ինտեգրվելով փոփոխականի վրա:
2) Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Հետաքրքրվողները կարող են գտնել նաև գործչի տարածքը «սովորական» եղանակով՝ դրանով իսկ ստուգելով 1-ին կետը): Բայց եթե, կրկնում եմ, հարթ ֆիգուր պտտես առանցքի շուրջ, կստանաս պտտման լրիվ այլ մարմին՝ այլ ծավալով, ի դեպ՝ ճիշտ պատասխան (նաև խնդիրներ լուծել սիրողների համար)։

Առաջադրանքի երկու առաջարկված կետերի ամբողջական լուծումը դասի վերջում է:

Այո, և մի մոռացեք ձեր գլուխը թեքել դեպի աջ՝ հասկանալու պտտման մարմինները և ինտեգրման սահմանները:

Ես պատրաստվում էի հոդվածն ավարտել, բայց այսօր մի հետաքրքիր օրինակ բերեցին հենց օրդինատների առանցքի շուրջ հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար։ Թարմ:

Հաշվե՛ք կորերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը և .

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Ճանապարհին մենք ծանոթանում ենք մի քանի այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներին։ Ահա զույգ ֆունկցիայի հետաքրքիր գրաֆիկ...