Larutan. Kami memecahkan persegi panjang ASC: sin A=, BH=12, maka AB=13,AK=5 (triple Pythagoras 5,12,13). Memecahkan persegi panjang BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagoras tripel 3,4,5). Jari-jari dicari dengan rumus r === 4. Jawaban.4.

2.4. Trigonometri pythagoras tiga kali lipat

Identitas trigonometri utama adalah kasus khusus dari teorema Pythagoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Oleh karena itu, beberapa tugas trigonometri mudah diselesaikan secara lisan menggunakan tripel Pythagoras.

Masalah di mana diperlukan untuk menemukan nilai fungsi trigonometri lainnya dengan nilai fungsi tertentu dapat diselesaikan tanpa mengkuadratkan dan mengekstrak akar kuadrat. Semua tugas jenis ini dalam buku teks sekolah aljabar (10-11) Mordkovich (No. 000-No. 000) dapat diselesaikan secara lisan, hanya mengetahui beberapa kali lipat Pythagoras: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Mari kita pertimbangkan solusi dari dua masalah.

Nomor 000 a). sin t = 4/5, /2< t < π.

Larutan. Tripel Pythagoras: 3, 4, 5. Oleh karena itu, cos t = -3/5; tgt = -4/3,

Nomor 000 b). tg t = 2,4,< t < 3π/2.

Larutan. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Tripel Pythagoras 5,12,13. Mengingat tanda-tandanya, kita mendapatkan sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Mengontrol dan mengukur bahan ujian

a) cos (busur 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) dosa (arccos 13/5)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (busur 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) memeriksa validitas persamaan:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = /2.

Larutan. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = /2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = /2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

AKU AKU AKU. Kesimpulan

Dalam masalah geometri, seseorang sering kali harus menyelesaikan segitiga siku-siku, terkadang beberapa kali. Setelah menganalisis tugas buku teks sekolah dan materi USE, kita dapat menyimpulkan bahwa tiga kali lipat terutama digunakan: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; yang mudah diingat. Saat menyelesaikan beberapa tugas trigonometri, solusi klasik menggunakan rumus trigonometri dan sejumlah besar perhitungan membutuhkan waktu, dan pengetahuan tentang tiga kali lipat Pythagoras akan menghilangkan kesalahan dalam perhitungan dan menghemat waktu untuk memecahkan masalah yang lebih sulit pada ujian.

Daftar bibliografi

1. Aljabar dan awal mula analisis. kelas 10-11. Pada jam 2 Bagian 2. Buku tugas untuk lembaga pendidikan / [dan lain-lain]; ed. . - Edisi ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 hal. : Saya akan.

2. Aljabar Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 hal.

3. Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan mendalam studi pendidikan umum matematika. sekolah dari Rusia lang. belajar, - edisi ke-3. - M N.; tidak. Asveta, 2000. - 574 hal.: sakit.

4. Matematika: Pembaca sejarah, metodologi, didaktik. / Komp. . - M.: Penerbitan URAO, 2001. - 384 hal.

5. Jurnal “Matematika di Sekolah” No. 1 Tahun 1965.

6. Mengontrol dan mengukur bahan ujian.

7. Geometri, 7-9: Proc. untuk lembaga pendidikan /, dll - ed 13. - M.: Pendidikan, 2003. – 384 hal. : Saya akan.

8. Geometri: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah /, dll - 2nd ed. - M.: Pendidikan, 1993, - 207 hal.: sakit.

aljabar Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 hal.

Jurnal “Matematika di Sekolah” No. 1 Tahun 1965.

Geometri, 7-9: Proc. untuk lembaga pendidikan /, dll - ed 13. - M.: Pendidikan, 2003. – 384 hal. : Saya akan.

Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan mendalam studi pendidikan umum matematika. sekolah dari Rusia lang. belajar, - edisi ke-3. - M N.; tidak. Asveta, 2000. - 574 hal.: sakit.

Aljabar dan awal analisis. kelas 10-11. Pada jam 2 Bagian 2. Buku tugas untuk lembaga pendidikan / [dan lain-lain]; ed. . - Edisi ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 hal. : sakit., hal.18.

Contoh penting dari persamaan Diophantine diberikan oleh teorema Pythagoras, yang menghubungkan panjang x dan y dari kaki segitiga siku-siku dengan panjang z dari sisi miringnya:

Tentu saja, Anda telah menemukan salah satu solusi luar biasa dari persamaan ini dalam bilangan asli, yaitu tripel bilangan Pythagoras. x=3, y=4, z=5. Apakah ada kembar tiga lainnya?

Ternyata ada banyak tripel Pythagoras yang tak terhingga, dan semuanya ditemukan sejak lama. Mereka dapat diperoleh dengan formula terkenal, yang akan Anda pelajari dari paragraf ini.

Jika persamaan Diophantine tingkat pertama dan kedua telah diselesaikan, maka pertanyaan untuk memecahkan persamaan tingkat yang lebih tinggi masih tetap terbuka, terlepas dari upaya para ahli matematika terkemuka. Saat ini, misalnya, dugaan Fermat yang terkenal bahwa untuk setiap nilai bilangan bulat n2 persamaan

tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.

Untuk memecahkan beberapa jenis persamaan Diophantine, yang disebut bilangan kompleks. Apa itu? Biarkan huruf i menunjukkan beberapa objek yang memenuhi kondisi saya 2 \u003d -1(jelas bahwa tidak ada bilangan real yang memenuhi kondisi ini). Pertimbangkan ekspresi bentuk +iβ, dimana dan adalah bilangan real. Kami akan memanggil ekspresi seperti itu bilangan kompleks, setelah mendefinisikan operasi penambahan dan perkalian pada mereka, serta pada binomial, tetapi dengan satu-satunya perbedaan bahwa ekspresi saya 2 dimana-mana kita akan mengganti angka -1:

7.1. Banyak dari ketiganya

Buktikan jika x0, y0, z0- Tiga kali lipat Pythagoras, lalu tiga kali lipat y 0, x 0, z 0 dan x 0 k, y 0 k, z 0 k untuk setiap nilai parameter alami k juga Pythagoras.

7.2. Formula pribadi

Periksa apakah ada nilai natural m>n trinitas bentuk

adalah Pythagoras. Apakah itu tripel Pythagoras? x, y, z dapat direpresentasikan dalam bentuk ini, jika Anda mengizinkan untuk mengatur ulang angka x dan y dalam rangkap tiga?

7.3. Kembar tiga yang tidak dapat direduksi

Triple Pythagoras dari angka yang tidak memiliki pembagi yang sama lebih besar dari 1 akan disebut tak tereduksi. Buktikan bahwa rangkap tiga Pythagoras tidak dapat direduksi hanya jika dua bilangan dalam rangkap tiga itu koprima.

7.4. Properti dari rangkap tiga yang tidak dapat direduksi

Buktikan bahwa dalam rangkap tiga Pythagoras tak tereduksi x, y, z bilangan z dan tepat salah satu bilangan x atau y adalah ganjil.

7.5. Semua tiga kali lipat yang tidak dapat direduksi

Buktikan bahwa rangkap tiga bilangan x, y, z merupakan tripel Pythagoras tak dapat direduksi jika dan hanya jika bertepatan dengan rangkap tiga hingga urutan dua angka pertama 2 menit, m 2 - n 2, m 2 + n 2, di mana m>n- bilangan asli coprime dengan paritas berbeda.

7.6. Rumus umum

Buktikan bahwa semua solusi persamaan

dalam bilangan asli diberikan hingga urutan x dan y yang tidak diketahui dengan rumus

di mana m>n dan k adalah parameter alami (untuk menghindari duplikasi tiga kali lipat apa pun, cukup memilih jumlah jenis koprima dan, terlebih lagi, dengan paritas berbeda).

7.7. 10 kembar tiga pertama

Temukan semua tripel Pythagoras x, y, z memenuhi syarat x

7.8. Sifat-sifat triplet Pythagoras

Buktikan bahwa untuk sembarang tripel Pythagoras x, y, z pernyataan benar:

a) paling sedikit salah satu bilangan x atau y merupakan kelipatan 3;

b) paling sedikit salah satu bilangan x atau y merupakan kelipatan 4;

c) paling sedikit salah satu bilangan x, y atau z adalah kelipatan 5.

7.9. Penerapan bilangan kompleks

Modulus bilangan kompleks + saya disebut bilangan non-negatif

Periksa bahwa untuk setiap bilangan kompleks + saya dan + saya properti dieksekusi

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks dan modulusnya, buktikan bahwa setiap dua bilangan bulat m dan n memenuhi persamaan

yaitu, mereka memberikan solusi untuk persamaan

bilangan bulat (bandingkan dengan Soal 7.5).

7.10. Tripel non-Pythagoras

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks dan modulusnya (lihat Soal 7.9), temukan rumus untuk setiap solusi bilangan bulat dari persamaan:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Solusi

7.1. Jika sebuah x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , kemudian y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , dan untuk setiap nilai natural k yang kita miliki

Q.E.D.

7.2. Dari persamaan

kami menyimpulkan bahwa rangkap tiga yang ditunjukkan dalam masalah memenuhi persamaan x 2 + y 2 = z 2 dalam bilangan asli. Namun, tidak setiap tripel Pythagoras x, y, z dapat direpresentasikan dalam bentuk ini; misalnya, triple 9, 12, 15 adalah Pythagoras, tetapi angka 15 tidak dapat dinyatakan sebagai jumlah kuadrat dari dua bilangan asli m dan n.

7.3. Jika ada dua bilangan dari tripel Pythagoras x, y, z memiliki pembagi yang sama d, maka itu juga akan menjadi pembagi dari angka ketiga (jadi, dalam kasus ini x = x 1 d, y = y 1 d kita punya z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, dimana z 2 habis dibagi d 2 dan z habis dibagi d). Oleh karena itu, agar tripel Pythagoras tidak dapat direduksi, dua bilangan dalam tripel itu harus koprima,

7.4. Perhatikan bahwa salah satu bilangan x atau y, katakanlah x, dari tripel Pythagoras tak tereduksi x, y, z ganjil karena jika tidak, bilangan x dan y tidak akan menjadi coprime (lihat soal 7.3). Jika bilangan lain y juga ganjil, maka kedua bilangan tersebut

memberikan sisa 1 ketika dibagi dengan 4, dan nomor z 2 \u003d x 2 + y 2 memberikan sisa 2 ketika dibagi 4, yaitu habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 4, yang tidak bisa. Jadi, bilangan y harus genap, dan bilangan z karenanya harus ganjil.

7.5. Biarkan tripel Pythagoras x, y, z tak tereduksi dan, untuk kepastian, bilangan x genap, sedangkan bilangan y, z ganjil (lihat Soal 7.4). Kemudian

dimana angkanya? utuh. Mari kita buktikan bahwa bilangan a dan b adalah koprima. Memang, jika mereka memiliki pembagi yang sama lebih besar dari 1, maka angka-angka tersebut akan memiliki pembagi yang sama z = a + b, y = a - b, yaitu, rangkap tiga tidak dapat direduksi (lihat Soal 7.3). Sekarang, dengan memperluas bilangan a dan b menjadi hasil kali faktor prima, kita perhatikan bahwa setiap faktor prima harus dimasukkan ke dalam hasil kali 4ab = x2 hanya sampai derajat genap, dan jika termasuk dalam perluasan bilangan a, maka tidak termasuk dalam perluasan bilangan b dan sebaliknya. Oleh karena itu, faktor prima apa pun termasuk dalam perluasan bilangan a atau b secara terpisah hanya hingga derajat genap, yang berarti bahwa bilangan-bilangan ini sendiri adalah kuadrat dari bilangan bulat. Mari kita taruh maka kita mendapatkan persamaan

Selain itu, parameter natural m>n bersifat koprima (karena koprimeitas bilangan a dan b) dan memiliki paritas yang berbeda (karena bilangan ganjil z \u003d m 2 + n 2).

Biarkan sekarang bilangan asli m>n dari paritas yang berbeda menjadi koprima. Kemudian troika x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, menurut Soal 7.2, adalah Pythagoras. Mari kita buktikan bahwa itu tidak dapat direduksi. Untuk melakukannya, cukup dengan memeriksa bahwa bilangan y dan z tidak memiliki pembagi yang sama (lihat Soal 7.3). Padahal, kedua angka ini ganjil, karena jenis angkanya memiliki paritas yang berbeda. Jika bilangan y dan z memiliki suatu pembagi persekutuan yang sederhana (maka harus ganjil), maka setiap bilangan dan dan dengannya dan setiap bilangan m dan n memiliki pembagi yang sama, yang bertentangan dengan kesederhanaan bersamanya.

7.6. Berdasarkan asersi yang dirumuskan dalam Soal 7.1 dan 7.2, rumus-rumus ini hanya mendefinisikan tripel Pythagoras. Di sisi lain, setiap rangkap tiga Pythagoras x, y, z setelah dikurangi dengan pembagi persekutuan terbesar k, pasangan bilangan x dan y menjadi tak tereduksi (lihat Soal 7.3) dan, oleh karena itu, dapat direpresentasikan hingga orde bilangan x dan y dalam bentuk yang dijelaskan dalam Soal 7.5. Oleh karena itu, setiap triple Pythagoras diberikan oleh rumus yang ditunjukkan untuk beberapa nilai parameter.

7.7. Dari ketidaksetaraan z dan rumus Soal 7.6, kita peroleh estimasinya m 2 yaitu m≤5. Asumsi m = 2, n = 1 dan k = 1, 2, 3, 4, 5, kita mendapatkan kembar tiga 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Asumsi m=3, n=2 dan k = 1, 2, kita mendapatkan kembar tiga 5, 12, 13; 10, 24, 26. Asumsi m = 4, n = 1, 3 dan k = 1, kita mendapatkan kembar tiga 8, 15, 17; 7, 24, 25. Akhirnya, dengan asumsi m=5, n=2 dan k = 1, kita mendapatkan tiga 20, 21, 29.

Metode yang mudah dan sangat akurat yang digunakan oleh surveyor tanah untuk menggambar garis tegak lurus di tanah adalah sebagai berikut. Biarkan diperlukan untuk menggambar tegak lurus terhadap garis MN melalui titik A (Gbr. 13). Lay off dari A ke arah AM tiga kali beberapa jarak a. Kemudian tiga simpul diikat pada tali, jarak antara 4a dan 5a. Memasang simpul ekstrem ke titik A dan B, tarik kabel melewati simpul tengah. Tali tersebut akan ditempatkan dalam sebuah segitiga, di mana sudut A adalah siku-siku.

Metode kuno ini, tampaknya digunakan ribuan tahun yang lalu oleh para pembangun piramida Mesir, didasarkan pada fakta bahwa setiap segitiga, yang sisi-sisinya terkait dengan 3:4:5, menurut teorema Pythagoras yang terkenal, adalah siku-siku, karena

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Selain bilangan 3, 4, 5, seperti diketahui, ada himpunan bilangan bulat positif a, b, c yang tak terhitung yang memenuhi relasi

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Mereka disebut bilangan Pythagoras. Menurut teorema Pythagoras, bilangan tersebut dapat berfungsi sebagai panjang sisi dari beberapa segitiga siku-siku; oleh karena itu, a dan b disebut "kaki", dan c disebut "sisi miring".

Jelas bahwa jika a, b, c adalah tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka pa, pb, pc, di mana p adalah faktor bilangan bulat, adalah bilangan Pythagoras. Sebaliknya, jika bilangan Pythagoras memiliki faktor persekutuan, maka dengan faktor persekutuan ini Anda dapat mengurangi semuanya, dan sekali lagi Anda mendapatkan tiga kali lipat bilangan Pythagoras. Oleh karena itu, pertama-tama kita hanya akan mempelajari tiga kali lipat bilangan Pythagoras koprima (sisanya diperoleh dari bilangan tersebut dengan mengalikan dengan faktor bilangan bulat p).

Mari kita tunjukkan bahwa dalam setiap kembar tiga seperti a, b, c salah satu "kaki" harus genap dan yang lainnya ganjil. Mari kita berdebat "sebaliknya". Jika kedua "kaki" a dan b genap, maka angka a 2 + b 2 akan genap, dan karenanya "sisi miring". Namun, ini bertentangan dengan fakta bahwa bilangan a, b, c tidak memiliki faktor persekutuan, karena tiga bilangan genap memiliki faktor persekutuan 2. Jadi, setidaknya salah satu dari "kaki" a, b adalah ganjil.

Masih ada satu kemungkinan lagi: kedua "kaki" ganjil, dan "sisi miring" genap. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa ini tidak mungkin. Memang, jika "kaki" memiliki bentuk

2x + 1 dan 2y + 1,

maka jumlah kuadratnya adalah

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

yaitu, itu adalah angka yang, ketika dibagi dengan 4, memberikan sisa 2. Sementara itu, kuadrat dari setiap bilangan genap harus habis dibagi 4 tanpa sisa. Jadi jumlah kuadrat dua bilangan ganjil tidak mungkin kuadrat dari bilangan genap; dengan kata lain, tiga angka kita bukan Pythagoras.

Jadi, dari "kaki" a, b, yang satu genap dan yang lainnya ganjil. Oleh karena itu, angka a 2 + b 2 adalah ganjil, yang berarti bahwa "sisi miring" c juga ganjil.

Misalkan, untuk kepastian, ganjil itu adalah "kaki" a, dan genap b. Dari kesetaraan

a2 + b2 = c2

kita dengan mudah mendapatkan:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Faktor c + b dan c - b di ruas kanan adalah koprima. Memang, jika angka-angka ini memiliki faktor prima yang sama selain satu, maka jumlahnya juga akan habis dibagi oleh faktor ini.

(c + b) + (c - b) = 2c,

dan perbedaan

(c + b) - (c - b) = 2b,

dan bekerja

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

yaitu angka 2c, 2b dan a akan memiliki faktor persekutuan. Karena a ganjil, faktor ini berbeda dari dua, dan oleh karena itu bilangan a, b, c memiliki faktor persekutuan yang sama, yang, bagaimanapun, tidak mungkin. Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa bilangan c + b dan c - b adalah koprima.

Tetapi jika hasil kali bilangan koprima adalah kuadrat eksak, maka masing-masing bilangan tersebut adalah bujur sangkar, mis.

Memecahkan sistem ini, kami menemukan:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, dan 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d M N.

Jadi, bilangan Pythagoras yang dipertimbangkan memiliki bentuk

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

di mana m dan n adalah beberapa bilangan ganjil koprima. Pembaca dapat dengan mudah memverifikasi kebalikannya: untuk semua jenis ganjil, rumus tertulis memberikan tiga bilangan Pythagoras a, b, c.

Berikut beberapa triplet bilangan Pythagoras yang diperoleh dengan berbagai jenis:

Untuk m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 untuk m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 untuk m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 untuk m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 pada m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 pada m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 pada m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 untuk m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 untuk m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 untuk m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 pada m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 pada m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 pada m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 pada m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 pada m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 pada m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras lainnya memiliki faktor persekutuan atau mengandung bilangan yang lebih besar dari seratus.)

Belotelov V.A. Tiga kali lipat Pythagoras dan jumlahnya // Encyclopedia of the Nesterovs

Artikel ini adalah jawaban untuk salah satu profesor - seorang pincher. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di desa kami.

Wilayah Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

Pengetahuan tentang algoritma untuk memecahkan persamaan Diophantine (ADDE) dan pengetahuan tentang progresi polinomial diperlukan.

JIKA adalah bilangan prima.

MF adalah bilangan komposit.

Misalkan ada bilangan ganjil N. Untuk bilangan ganjil selain satu, Anda dapat menulis persamaan.

p 2 + N \u003d q 2,

dimana + q = N, q – = 1.

Misalnya, untuk angka 21 dan 23, persamaannya adalah, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jika N prima, persamaan ini unik. Jika bilangan N adalah komposit, maka dimungkinkan untuk membuat persamaan serupa untuk jumlah pasangan faktor yang mewakili bilangan ini, termasuk 1 x N.

Misalkan bilangan N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Saya bermimpi, tetapi mungkinkah, berpegang teguh pada perbedaan antara IF dan MF ini, untuk menemukan metode untuk identifikasi mereka.

Mari kita perkenalkan notasinya;

Mari kita ubah persamaan yang lebih rendah, -

N \u003d dalam 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Mari kita kelompokkan nilai-nilai N menurut kriteria di - a, yaitu. mari kita buat tabel.

Angka-angka N diringkas dalam matriks, -

Untuk tugas inilah saya harus berurusan dengan progresi polinomial dan matriksnya. Semuanya ternyata sia-sia - pertahanan PCh dipegang dengan kuat. Mari kita masukkan kolom di tabel 1, di mana di - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Sekali lagi. Tabel 2 diperoleh sebagai hasil dari upaya untuk memecahkan masalah mengidentifikasi IF dan MF. Dari tabel berikut bahwa untuk sembarang bilangan N, ada sebanyak mungkin persamaan berbentuk a 2 + N \u003d dalam 2, menjadi berapa banyak pasangan faktor bilangan N yang dapat dibagi, termasuk faktor 1 x N. Selain itu ke angka N \u003d 2, di mana

- FC. Untuk N = 2 , di mana adalah JIKA, ada persamaan unik p 2 + N = q 2 . Bukti tambahan apa yang dapat kita bicarakan jika tabel mencantumkan faktor-faktor yang lebih kecil dari pasangan faktor-faktor yang membentuk N, dari satu hingga . Kami akan menempatkan Tabel 2 di peti, dan menyembunyikan peti di lemari.

Mari kembali ke topik yang tertera pada judul artikel.

Artikel ini adalah jawaban untuk salah satu profesor - seorang pincher.

Saya meminta bantuan - saya membutuhkan serangkaian angka yang tidak dapat saya temukan di Internet. Saya mendapat pertanyaan seperti, - "untuk apa?", "Tapi tunjukkan metodenya." Secara khusus, ada pertanyaan apakah deret tripel Pythagoras tidak terbatas, "bagaimana membuktikannya?". Dia tidak membantu saya. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di desa kami.

Mari kita ambil rumus tripel Pythagoras, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (satu)

Mari kita melewati ARDU.

Tiga situasi yang mungkin:

I.x adalah bilangan ganjil,

y adalah bilangan genap

z adalah bilangan genap.

Dan ada kondisi x > y > z.

II. x bilangan ganjil

y adalah bilangan genap

z adalah bilangan ganjil.

x > z > y.

III.x - bilangan genap,

y bilangan ganjil

z adalah bilangan ganjil.

x > y > z.

Mari kita mulai dengan saya.

Mari kita perkenalkan variabel baru

Substitusi ke persamaan (1).

Mari kita batalkan dengan variabel yang lebih kecil 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Mari kita kurangi variabel 2β – 2γ dengan variabel yang lebih kecil dengan pengenalan parameter baru , -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Maka, 2α - 2β = x - y - 1.

Persamaan (2) akan berbentuk, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Mari kita kuadratkan -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU memberikan melalui parameter hubungan antara istilah senior persamaan, jadi kami mendapat persamaan (3).

Tidak solid untuk menghadapi pemilihan solusi. Tetapi, pertama, tidak ada tempat untuk pergi, dan kedua, beberapa solusi ini diperlukan, dan kami dapat memulihkan jumlah solusi yang tak terbatas.

Untuk = 1, k = 1, kita memiliki x – y = 1.

Dengan = 12, k = 16, kita mendapatkan x - y = 9.

Dengan = 4, k = 32, kita mendapatkan x - y = 25.

Anda dapat mengambilnya untuk waktu yang lama, tetapi pada akhirnya seri akan mengambil bentuk -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Pertimbangkan opsi II.

Mari kita perkenalkan variabel baru ke dalam persamaan (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Kami mengurangi dengan variabel yang lebih kecil 2 , -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Mari kita kurangi dengan variabel yang lebih kecil 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (empat)

2α - 2γ = x - z dan substitusikan ke persamaan (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Dengan = 3, k = 4, kita mendapatkan x - z = 2.

Dengan = 8, k = 14, kita mendapatkan x - z = 8.

Dengan = 3, k = 24, kita mendapatkan x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Mari menggambar trapesium -

Mari kita menulis rumus.

dimana n=1, 2,...∞.

Kasus III tidak akan dijelaskan - tidak ada solusi di sana.

Untuk kondisi II, himpunan rangkap tiga adalah sebagai berikut:

Persamaan (1) disajikan sebagai x 2 = z 2 + y 2 untuk kejelasan.

Untuk kondisi I, himpunan rangkap tiga adalah sebagai berikut:

Secara total, 9 kolom tiga kali lipat dicat, masing-masing lima kali lipat. Dan setiap kolom yang disajikan dapat ditulis hingga .

Sebagai contoh, pertimbangkan tiga kali lipat dari kolom terakhir, di mana x - y \u003d 81.

Untuk nilai x, kami menulis trapesium, -

Ayo tulis rumusnya

Untuk nilai kami menulis trapesium, -

Ayo tulis rumusnya

Untuk nilai z, kami menulis trapesium, -

Ayo tulis rumusnya

Dimana n = 1 .

Seperti yang dijanjikan, serangkaian kembar tiga dengan x - y = 81 terbang ke .

Ada upaya untuk kasus I dan II untuk membangun matriks untuk x, y, z.

Tuliskan lima kolom terakhir x dari baris atas dan buat trapesium.

Itu tidak berhasil, dan polanya harus kuadrat. Untuk membuat semuanya menjadi kerawang, ternyata perlu untuk menggabungkan kolom I dan II.

Dalam kasus II, kuantitas y, z dipertukarkan lagi.

Kami berhasil menggabungkan karena satu alasan - kartunya cocok dengan tugas ini - kami beruntung.

Sekarang Anda dapat menulis matriks untuk x, y, z.

Mari kita ambil dari lima kolom terakhir dari nilai x dari baris atas dan membangun trapesium.

Semuanya baik-baik saja, Anda dapat membangun matriks, dan mari kita mulai dengan matriks untuk z.

Aku lari ke lemari untuk peti.

Total: Selain satu, setiap bilangan ganjil dari sumbu numerik berpartisipasi dalam pembentukan kembar tiga Pythagoras dengan jumlah pasangan faktor yang sama yang membentuk bilangan ini N, termasuk faktor 1 x N.

Angka N \u003d ℓ 2, di mana - JIKA, membentuk satu rangkap tiga Pythagoras, jika adalah MF, maka tidak ada tiga kali lipat pada faktor ℓхℓ.

Mari kita membangun matriks untuk x, y.

Mari kita mulai dengan matriks untuk x. Untuk melakukan ini, kami akan menarik grid koordinat dari masalah mengidentifikasi IF dan MF.

Penomoran baris vertikal dinormalisasi dengan ekspresi

Mari kita hapus kolom pertama, karena

Matriks akan berbentuk -

Mari kita gambarkan baris vertikal, -

Mari kita gambarkan koefisien di "a", -

Mari kita jelaskan anggota gratis, -

Mari kita buat rumus umum untuk "x", -

Jika kita melakukan pekerjaan serupa untuk "y", kita mendapatkan -

Anda dapat mendekati hasil ini dari sisi lain.

Mari kita ambil persamaannya,

dan 2 + N = dalam 2 .

Mari kita ubah sedikit -

N \u003d dalam 2 - a 2.

Mari kita kuadratkan -

N 2 \u003d dalam 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Ke kiri dan kanan persamaan, tambahkan besarnya 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d dalam 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Dan akhirnya -

(dalam 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Tripel Pythagoras disusun sebagai berikut:

Perhatikan contoh dengan nomor N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Kolom vertikal Tabel 2 diberi nomor dengan nilai - a, sedangkan kolom vertikal Tabel 3 diberi nomor dengan nilai x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Mari kita buat tiga persamaan.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktor 3 dan 39 bukanlah bilangan prima, jadi satu kali lipat ternyata dengan faktor 9.

Mari kita gambarkan di atas tertulis dalam simbol-simbol umum, -

Dalam karya ini, semuanya, termasuk contoh untuk menghitung tiga kali lipat Pythagoras dengan nomor

N = 117, terikat dengan faktor yang lebih kecil di - a. Diskriminasi eksplisit dalam kaitannya dengan faktor dalam + a. Mari kita perbaiki ketidakadilan ini - kita akan membuat tiga persamaan dengan faktor di + a.

Mari kembali ke soal identifikasi IF dan MF.

Banyak hal telah dilakukan ke arah ini, dan hari ini pemikiran berikut telah muncul di tangan - tidak ada persamaan identifikasi, dan tidak ada yang namanya menentukan faktor-faktornya.

Misalkan kita telah menemukan relasi F = a, b (N).

Ada rumusnya

Anda dapat menghilangkan rumus F dari dalam dan Anda mendapatkan persamaan homogen tingkat ke-n sehubungan dengan a, yaitu. F = a(N).

Untuk sembarang derajat n dari persamaan ini, terdapat bilangan N dengan m pasang faktor, untuk m > n.

Dan sebagai konsekuensinya, persamaan homogen derajat n harus memiliki m akar.

Ya, ini tidak bisa.

Dalam makalah ini, bilangan N dipertimbangkan untuk persamaan x 2 = y 2 + z 2 ketika mereka berada dalam persamaan di tempat z. Ketika N menggantikan x, ini adalah tugas lain.

Hormat kami, Belotelov V.A.

Beskrovny I.M. satu

1 OAO Angstrem-M

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mengembangkan metode dan algoritma untuk menghitung tripel Pythagoras dari bentuk a2+b2=c2. Proses analisis dilakukan sesuai dengan prinsip-prinsip pendekatan sistematis. Seiring dengan model matematika, digunakan model grafis yang menampilkan setiap anggota tripel Pythagoras dalam bentuk kotak komposit, yang masing-masing terdiri dari satu set kotak satuan. Telah ditetapkan bahwa himpunan tak hingga tiga kali lipat Pythagoras berisi jumlah tak terbatas dari himpunan bagian yang membedakan dengan perbedaan antara nilai b–c. Sebuah algoritma untuk pembentukan tripel Pythagoras dengan nilai yang telah ditentukan sebelumnya dari perbedaan ini diusulkan. Ditunjukkan bahwa tripel Pythagoras ada untuk setiap nilai 3≤a

kembar tiga Pythagoras

analisa sistem

model matematika

model grafis

1. Anosov D.N. Sebuah melihat matematika dan sesuatu dari itu. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 hal.: sakit.

2. Ayerland K., Rosen M. Pengantar klasik untuk teori bilangan modern. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Analisis Sistem dan Teknologi Informasi dalam Organisasi: Buku Ajar. - M.: RUDN, 2012. - 392 hal.

4. Simon Singh. Teorema Terakhir Fermat.

5. Ferma P. Studi Teori Bilangan dan Analisis Diophantine. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Tersedia di: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Tripel Pythagoras adalah kohort dari tiga bilangan bulat yang memenuhi relasi Pythagoras x2 + y2 = z2. Secara umum, ini adalah kasus khusus persamaan Diophantine, yaitu sistem persamaan di mana jumlah yang tidak diketahui lebih besar dari jumlah persamaan. Mereka telah dikenal sejak lama, sejak zaman Babel, yaitu jauh sebelum Pythagoras. Dan mereka memperoleh nama setelah Pythagoras membuktikan teoremanya yang terkenal atas dasar mereka. Namun, sebagai berikut dari analisis berbagai sumber di mana pertanyaan tentang tiga kali lipat Pythagoras disinggung dalam satu atau lain cara, pertanyaan tentang kelas tiga kali lipat yang ada dan kemungkinan cara pembentukannya belum sepenuhnya diungkapkan.

Jadi dalam buku Simon Singh dikatakan: - "Para murid dan pengikut Pythagoras ... mengatakan kepada dunia rahasia menemukan apa yang disebut Pythagoras tiga k." Namun, setelah ini kita membaca: - “Orang-orang Pythagoras bermimpi menemukan tiga kali lipat Pythagoras lainnya, kotak lain, dari mana dimungkinkan untuk menambahkan kotak besar ketiga. …Seiring dengan bertambahnya jumlah, tripel Pythagoras menjadi semakin langka dan semakin sulit ditemukan. Orang-orang Pythagoras menemukan metode untuk menemukan kembar tiga seperti itu dan, dengan menggunakannya, membuktikan bahwa ada banyak sekali kembar tiga Pythagoras.

Kata-kata yang menyebabkan kebingungan disorot dalam kutipan. Mengapa "orang Pythagoras bermimpi menemukan ..." jika mereka "menemukan metode untuk menemukan tiga kali lipat seperti itu ...", dan mengapa untuk jumlah besar "menjadi semakin sulit untuk menemukannya ...".

Dalam karya matematikawan terkenal D.V. Anosov, jawaban yang diinginkan tampaknya diberikan. - “Ada tiga kali lipat bilangan asli (yaitu bilangan bulat positif) x, y, z sehingga

x2 + y2 = z2. (satu)

…apakah mungkin menemukan semua solusi dari persamaan x2+y2=z2 dalam bilangan asli? …Ya. Jawabannya adalah bahwa setiap solusi tersebut dapat direpresentasikan sebagai

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

di mana l, m, n adalah bilangan asli, dan m>n, atau dalam bentuk serupa di mana x dan y dipertukarkan. Kita dapat mengatakan sedikit lebih singkat bahwa x, y, z dari (2) dengan semua kemungkinan natural l dan m > n adalah semua solusi yang mungkin dari (1) hingga permutasi x dan y. Misalnya, rangkap tiga (3, 4, 5) diperoleh dengan l=1, m=2, n=1. ... Rupanya, orang Babilonia mengetahui jawaban ini, tetapi bagaimana mereka sampai pada jawaban itu tidak diketahui.”

Biasanya para matematikawan terkenal dengan ketelitiannya dalam merumuskan rumusan-rumusannya. Tapi, dalam kutipan ini, ketelitian seperti itu tidak diperhatikan. Jadi apa sebenarnya: temukan atau bayangkan? Jelas, ini adalah hal yang sama sekali berbeda. Berikut adalah baris tiga kali lipat "baru dipanggang" (diperoleh dengan metode yang dijelaskan di bawah):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Tidak diragukan lagi bahwa masing-masing rangkap tiga ini dapat direpresentasikan dalam bentuk relasi (2) dan kemudian nilai l, m, n dapat dihitung. Tapi, ini setelah semua nilai tiga kali lipat ditemukan. Tapi bagaimana dengan sebelum itu?

Tidak dapat dipungkiri bahwa jawaban atas pertanyaan-pertanyaan tersebut telah lama diketahui. Namun karena suatu hal, mereka belum juga ditemukan. Dengan demikian, tujuan dari pekerjaan ini adalah analisis sistematis dari totalitas contoh-contoh yang diketahui dari tripel Pythagoras, pencarian hubungan pembentuk sistem dalam berbagai kelompok tripel dan identifikasi ciri-ciri sistemik dari kelompok-kelompok ini, dan kemudian pengembangan sederhana algoritma yang efisien untuk menghitung tiga kali lipat dengan konfigurasi yang telah ditentukan. Dengan konfigurasi, yang kami maksud adalah hubungan antara besaran-besaran yang membentuk rangkap tiga.

Sebagai alat bantu, perangkat matematika pada tingkat yang tidak melampaui kerangka matematika yang diajarkan di sekolah menengah, dan analisis sistem berdasarkan metode yang dijelaskan dalam.

Bangunan model

Dari sudut pandang analisis sistem, setiap tripel Pythagoras adalah sistem yang dibentuk oleh objek, yang merupakan tiga bilangan dan sifat-sifatnya. Totalitasnya, di mana objek ditempatkan dalam hubungan tertentu dan membentuk sistem yang memiliki sifat baru yang tidak melekat pada objek individu atau totalitas lainnya, di mana objek ditempatkan dalam hubungan lain.

Dalam persamaan (1), objek sistem adalah bilangan asli yang dihubungkan oleh hubungan aljabar sederhana: di sebelah kiri tanda sama dengan jumlah dua angka yang dipangkatkan 2, ke kanan adalah angka ketiga, juga dipangkatkan pangkat 2. Angka individu, di sebelah kiri persamaan, dinaikkan ke pangkat 2, jangan memaksakan pembatasan apa pun pada operasi penjumlahannya - jumlah yang dihasilkan bisa apa saja. Namun, tanda sama dengan yang ditempatkan setelah operasi penjumlahan memberlakukan pembatasan sistem pada nilai jumlah ini: jumlah tersebut harus sedemikian rupa sehingga hasil operasi ekstraksi akar kuadrat adalah bilangan asli. Dan kondisi ini tidak terpenuhi untuk sembarang bilangan yang disubstitusikan ke ruas kiri persamaan. Jadi, tanda sama dengan yang diletakkan di antara dua suku persamaan dan yang ketiga mengubah rangkap tiga suku menjadi sistem. Fitur baru dari sistem ini adalah pengenalan batasan pada nilai-nilai bilangan asli.

Berdasarkan bentuk penulisannya, tripel Pythagoras dapat dianggap sebagai model matematis dari suatu sistem geometri yang terdiri dari tiga buah kuadrat yang saling berhubungan dengan hubungan penjumlahan dan persamaan, seperti ditunjukkan pada Gambar. 1. Gambar. 1 adalah model grafis dari sistem yang sedang dipertimbangkan, dan model verbalnya adalah pernyataan:

Luas bujur sangkar dengan panjang sisi c dapat dibagi tanpa sisa menjadi dua persegi dengan panjang sisi a dan b, sehingga jumlah luasnya sama dengan luas bujur sangkar semula, yaitu ketiganya besaran a, b, dan c dihubungkan oleh hubungan

Model grafis dari dekomposisi persegi

Dalam kerangka kanon analisis sistem, diketahui bahwa jika model matematika cukup mencerminkan sifat-sifat sistem geometris tertentu, maka analisis sifat-sifat sistem itu sendiri memungkinkan kita untuk mengklarifikasi sifat-sifat model matematikanya, untuk mengenal mereka lebih dalam, untuk memperjelas, dan, jika perlu, untuk meningkatkan. Ini adalah jalan yang akan kita ikuti.

Mari kita perjelas bahwa, menurut prinsip analisis sistem, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada objek komposit, yaitu objek yang terdiri dari sekumpulan objek elementer. Oleh karena itu, kita akan melihat setiap persegi sebagai gambar yang terdiri dari satu set persegi dasar atau satuan. Maka kondisi untuk memperoleh solusi dalam bilangan asli sama dengan menerima kondisi bahwa kuadrat satuan tidak dapat dibagi.

Persegi satuan adalah persegi yang panjang setiap sisinya sama dengan satu. Artinya, ketika luas persegi satuan menentukan ekspresi berikut.

Parameter kuantitatif persegi adalah luasnya, yang ditentukan oleh jumlah persegi satuan yang dapat ditempatkan pada area tertentu. Untuk bujur sangkar dengan nilai x yang berubah-ubah, ekspresi x2 menentukan luas bujur sangkar yang dibentuk oleh segmen dengan panjang x satuan segmen. persegi satuan x2 dapat ditempatkan pada luas persegi ini.

Definisi di atas mungkin dianggap sepele dan jelas, tetapi sebenarnya tidak. D.N. Anosov mendefinisikan konsep luas dengan cara yang berbeda: - “... luas suatu bangun sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya. Mengapa kita yakin seperti itu? ... Kami membayangkan sosok yang terbuat dari semacam bahan homogen, maka luasnya sebanding dengan jumlah materi yang terkandung di dalamnya - massanya. Lebih lanjut dipahami bahwa ketika kita membagi tubuh menjadi beberapa bagian, jumlah massa mereka sama dengan massa tubuh asli. Hal ini dapat dimengerti, karena segala sesuatu terdiri dari atom dan molekul, dan karena jumlahnya tidak berubah, massa totalnya juga tidak berubah ... Lagi pula, pada kenyataannya, massa sepotong bahan homogen sebanding dengan volumenya; oleh karena itu, perlu diketahui bahwa volume "lembaran" yang berbentuk bangun tertentu sebanding dengan luasnya. Singkatnya, ... bahwa luas suatu gambar sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya, dalam geometri perlu untuk membuktikan ini. ... Dalam buku teks Kiselev, keberadaan area yang memiliki properti yang sekarang kita diskusikan secara jujur ​​dipostulasikan sebagai semacam asumsi, dan dikatakan bahwa ini sebenarnya benar, tetapi kami tidak akan membuktikannya. Jadi teorema Pythagoras, jika dibuktikan dengan luas, dalam pengertian logis murni, akan tetap tidak terbukti sepenuhnya.

Tampaknya bagi kita bahwa definisi bujur sangkar yang diperkenalkan di atas menghilangkan D.N. Ketidakpastian Anosov. Lagi pula, jika luas persegi dan persegi panjang ditentukan oleh jumlah kuadrat satuan yang mengisinya, maka ketika persegi panjang dibagi menjadi bagian-bagian yang berdekatan secara sewenang-wenang, luas persegi panjang secara alami sama dengan penjumlahan semua bagiannya.

Selain itu, definisi yang diperkenalkan menghilangkan ketidakpastian menggunakan konsep "membagi" dan "menambahkan" dalam kaitannya dengan angka geometris abstrak. Memang, apa artinya membagi persegi panjang atau bangun datar lainnya menjadi beberapa bagian? Jika itu adalah selembar kertas, maka itu bisa dipotong dengan gunting. Jika tanah - pasang pagar. Kamar - letakkan partisi. Bagaimana jika itu adalah persegi yang ditarik? Gambarkan garis pemisah dan nyatakan bahwa persegi dibagi? Tapi, bagaimanapun juga, D.I. Mendeleev: "... Anda dapat mendeklarasikan segalanya, tetapi Anda - silakan, tunjukkan!"

Dan menggunakan definisi yang diusulkan, "Membagi sebuah angka" berarti membagi jumlah kuadrat satuan yang mengisi angka ini menjadi dua (atau lebih) bagian. Jumlah kuadrat satuan di masing-masing bagian ini menentukan luasnya. Konfigurasi bagian-bagian ini dapat diberikan secara sewenang-wenang, tetapi jumlah luasnya akan selalu sama dengan luas gambar aslinya. Mungkin, matematikawan akan menganggap argumen ini salah, lalu kita akan menganggapnya sebagai asumsi. Jika asumsi seperti itu dapat diterima dalam buku teks Kiselyov, maka adalah dosa bagi kita untuk tidak menggunakan teknik seperti itu.

Langkah pertama dalam analisis sistem adalah mengidentifikasi situasi masalah. Pada awal tahap ini, beberapa ratus rangkap tiga Pythagoras yang ditemukan di berbagai sumber telah ditelusuri. Pada saat yang sama, perhatian tertuju pada fakta bahwa seluruh rangkaian rangkap tiga Pythagoras yang disebutkan dalam publikasi dapat dibagi menjadi beberapa kelompok yang berbeda dalam konfigurasi. Kami akan mempertimbangkan perbedaan panjang sisi kotak asli dan yang dikurangi, yaitu nilai c-b, sebagai tanda konfigurasi tertentu. Misalnya, dalam publikasi, tiga kali lipat yang memenuhi kondisi c-b=1 sering ditampilkan sebagai contoh. Kami berasumsi bahwa seluruh himpunan tripel Pythagoras tersebut membentuk himpunan, yang akan kami sebut "Kelas c-1", dan kami akan menganalisis properti kelas ini.

Perhatikan tiga persegi yang ditunjukkan pada gambar, di mana c adalah panjang sisi persegi yang akan dikurangi, b adalah panjang sisi persegi yang akan dikurangi, dan a adalah panjang sisi persegi yang dibentuk. dari perbedaan mereka. pada gambar. 1 dapat dilihat bahwa ketika mengurangkan luas persegi yang dikurangi dari luas persegi yang dikurangi, tersisa dua pita persegi satuan:

Untuk membentuk persegi dari sisa ini, kondisinya harus dipenuhi

Hubungan ini memungkinkan kita untuk menentukan nilai semua anggota rangkap tiga dengan satu angka tertentu c. Angka terkecil c yang memenuhi relasi (6) adalah c = 5. Dengan demikian, panjang ketiga sisi kuadrat yang memenuhi relasi (1) ditentukan. Ingatlah bahwa nilai b dari sisi kuadrat rata-rata

dipilih ketika kami memutuskan untuk membentuk persegi tengah dengan mengurangi sisi persegi asli menjadi satu. Kemudian dari relasi (5), (6). (7) kita memperoleh hubungan berikut:

dari mana dapat disimpulkan bahwa nilai yang dipilih c = 5 secara unik menentukan nilai b = 4, a = 3.

Akibatnya, diperoleh hubungan yang memungkinkan untuk mewakili tiga kali lipat Pythagoras dari kelas "c - 1" dalam bentuk seperti itu, di mana nilai ketiga anggota ditentukan oleh satu parameter yang ditentukan - nilai c:

Kami menambahkan bahwa angka 5 dalam contoh di atas muncul sebagai minimum dari semua kemungkinan nilai c yang persamaan (6) memiliki solusi dalam bilangan asli. Angka berikutnya yang memiliki sifat yang sama adalah 13, lalu 25, lalu 41, 61, 85, dll. Seperti yang Anda lihat, dalam rangkaian angka ini, interval antara angka yang berdekatan meningkat dengan cepat. Jadi, misalnya, setelah nilai valid , nilai valid berikutnya adalah , dan setelah , nilai valid berikutnya adalah , yaitu nilai valid lebih dari lima puluh juta dari yang sebelumnya!

Sekarang jelas dari mana frasa ini berasal dalam buku: - "Seiring bertambahnya angka, tiga kali lipat Pythagoras semakin jarang, dan menjadi semakin sulit untuk menemukannya ...". Namun, pernyataan ini tidak benar. Kita hanya perlu melihat tiga kali lipat Pythagoras yang sesuai dengan pasangan nilai c tetangga di atas, karena satu fitur langsung menarik perhatian - di kedua pasangan, di mana nilai c dipisahkan oleh interval yang begitu besar, nilai dari sebuah giliran menjadi bilangan ganjil yang bertetangga. Memang, untuk pasangan pertama yang kita miliki

dan untuk pasangan kedua

Jadi bukan tiga kali lipat itu sendiri yang "kurang umum", tetapi interval antara nilai-nilai tetangga c meningkat. Tripel Pythagoras sendiri, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, ada untuk bilangan asli apa pun.

Sekarang pertimbangkan tiga kali lipat dari kelas berikutnya - "Kelas c-2". Seperti yang dapat dilihat dari gambar. 1, ketika mengurangkan dari sebuah persegi dengan sisi c sebuah persegi dengan sisi (c - 2), sisanya adalah jumlah dari dua unit band. Nilai jumlah ini ditentukan oleh persamaan:

Dari persamaan (10) kita memperoleh hubungan yang mendefinisikan salah satu himpunan tak hingga dari kelas rangkap tiga "c-2":

Kondisi keberadaan solusi persamaan (11) dalam bilangan asli adalah setiap nilai c di mana a adalah bilangan asli. Nilai minimum c untuk solusi yang ada adalah c = 5. Kemudian tripel “awal” untuk kelas tripel ini ditentukan oleh himpunan a = 4, b = 3, c = 5. Artinya, sekali lagi, klasik triple 3, 4, 5 terbentuk , hanya saja luas persegi yang akan dikurangi lebih kecil dari luas sisanya.

Dan akhirnya, mari kita menganalisis tiga kali lipat dari kelas "s-8". Untuk kelas tiga kali lipat ini, mengurangkan luas bujur sangkar dari luas c2 bujur sangkar asli, kita mendapatkan:

Maka dari persamaan (12) berikut ini:

Nilai minimum c yang penyelesaiannya ada adalah c = 13. Tripel Pythagoras pada nilai ini akan berbentuk 12, 5, 13. Dalam hal ini, luas persegi yang akan dikurangkan lagi-lagi lebih kecil dari luas sisanya. Dan mengatur ulang penunjukan di beberapa tempat, kami mendapatkan triple 5, 12, 13, yang dengan konfigurasinya termasuk dalam kelas "c - 1". Tampaknya analisis lebih lanjut dari konfigurasi lain yang mungkin tidak akan mengungkapkan sesuatu yang baru secara fundamental.

Turunan dari rasio yang dihitung

Pada bagian sebelumnya, logika analisis dikembangkan sesuai dengan persyaratan analisis sistem dalam empat dari lima tahap utamanya: analisis situasi masalah, pembentukan tujuan, pembentukan fungsi, dan pembentukan struktur. Sekarang saatnya beralih ke tahap terakhir, kelima - uji kelayakan, yaitu uji sejauh mana tujuan tercapai. .

Tabel 1 ditunjukkan di bawah ini. 1, yang menunjukkan nilai tripel Pythagoras yang termasuk dalam kelas "c - 1". Kebanyakan tiga kali lipat ditemukan di berbagai publikasi, tetapi tiga kali lipat untuk nilai yang sama dengan 999.1001 belum ditemukan di publikasi yang dikenal.

Tabel 1

Tripel Pythagoras dari kelas "c-1"

Satu dapat memeriksa bahwa semua tiga kali lipat memenuhi hubungan (3). Dengan demikian, salah satu tujuan yang ditetapkan telah tercapai. Hubungan (9), (11), (13) yang diperoleh pada bagian sebelumnya memungkinkan untuk membentuk himpunan tak hingga tiga kali lipat dengan menetapkan satu-satunya parameter c, sisi kuadrat tereduksi. Ini, tentu saja, adalah pilihan yang lebih konstruktif daripada relasi (2), untuk penggunaan yang mana seseorang harus menetapkan secara sewenang-wenang tiga angka l, m, n, memiliki nilai apa pun, kemudian mencari solusi, hanya mengetahui bahwa pada akhirnya, tripel Pythagoras pasti akan diperoleh, dan mana yang tidak diketahui. Dalam kasus kami, konfigurasi triple yang terbentuk diketahui sebelumnya dan hanya satu parameter yang perlu diatur. Tapi, sayangnya, tidak setiap nilai parameter ini memiliki solusi. Dan Anda perlu mengetahui terlebih dahulu nilai-nilai yang diizinkan. Jadi hasilnya bagus, tapi jauh dari ideal. Diinginkan untuk memperoleh solusi sedemikian rupa sehingga tripel Pythagoras dapat dihitung untuk sembarang bilangan asli yang diberikan secara arbitrer. Untuk tujuan ini, mari kita kembali ke tahap keempat - pembentukan struktur hubungan matematika yang diperoleh.

Karena pilihan nilai c sebagai parameter dasar untuk menentukan anggota tripel yang tersisa ternyata merepotkan, opsi lain harus dicoba. Seperti yang dapat dilihat dari Tabel. 1, pilihan parameter a sebagai basis tampaknya lebih disukai, karena nilai parameter ini berturut-turut dalam serangkaian bilangan asli ganjil. Setelah transformasi sederhana, kami membawa hubungan (9) ke bentuk yang lebih konstruktif:

Hubungan (14) memungkinkan kita untuk menemukan tripel Pythagoras untuk setiap nilai ganjil yang ditentukan sebelumnya a. Pada saat yang sama, kesederhanaan ekspresi untuk b memungkinkan Anda untuk melakukan perhitungan bahkan tanpa kalkulator. Memang, memilih, misalnya, angka 13, kita mendapatkan:

Dan untuk nomor 99, masing-masing, kami mendapatkan:

Hubungan (15) memungkinkan memperoleh nilai dari ketiga suku string Pythagoras untuk n tertentu, mulai dari n=1.

Sekarang perhatikan tripel Pythagoras dari kelas "c - 2". Di meja. 2 menunjukkan sepuluh tiga kali lipat sebagai contoh. Selain itu, hanya tiga pasang rangkap tiga yang ditemukan dalam publikasi yang diketahui - 8, 15, 23; 12, 35, 36; dan 16, 63, 65. Ini ternyata cukup untuk menentukan pola pembentukannya. Tujuh sisanya ditemukan dari relasi turunan sebelumnya (11). Untuk memudahkan perhitungan, rasio ini ditransformasikan sehingga semua parameter dinyatakan dalam a. Dari (11) jelas bahwa semua rangkap tiga untuk kelas "c - 2" memenuhi hubungan berikut:

Meja 2

Tripel Pythagoras dari kelas "c-2"

Seperti yang dapat dilihat dari Tabel. 2, seluruh himpunan tak hingga tiga kali lipat dari kelas "c - 2" dapat dibagi menjadi dua subkelas. Untuk rangkap tiga yang nilai a habis dibagi 4 tanpa sisa, maka nilai b dan c ganjil. Tiga kali lipat seperti itu, di mana GCD = 1, disebut primitif. Untuk rangkap tiga yang nilainya a tidak habis dibagi 4 dalam bilangan bulat, ketiga anggota dari rangkap tiga a, b, c genap.

Sekarang mari kita beralih ke meninjau hasil analisis dari ketiga kelas yang dipilih - kelas "c - 8". Hubungan terhitung untuk kelas ini, diperoleh dari (13), memiliki bentuk:

Hubungan (20), (21) pada dasarnya identik. Perbedaannya hanya pada pilihan urutan tindakan. Atau, sesuai dengan (20), nilai a yang diinginkan dipilih (dalam hal ini, nilai ini harus dibagi 4), kemudian ditentukan nilai b dan c. Atau, nomor arbitrer dipilih, dan kemudian, dari hubungan (21), ketiga anggota tripel Pythagoras ditentukan. Di meja. 3 menunjukkan sejumlah tripel Pythagoras yang dihitung dengan cara ini. Namun, menghitung nilai tiga kali lipat Pythagoras bahkan lebih mudah. Jika setidaknya satu nilai diketahui, maka semua nilai berikutnya ditentukan dengan sangat sederhana oleh hubungan berikut:

Tabel 3

Validitas hubungan (22) untuk semua dapat diverifikasi baik dengan tiga kali lipat dari Tabel. 2, serta dari sumber lain. Sebagai contoh, pada Tabel. 4 tiga kali lipat dicetak miring dari tabel ekstensif tiga kali lipat Pythagoras (10.000 tiga kali lipat) dihitung berdasarkan program komputer dengan relasi (2) dan tipe tebal - tiga kali lipat dihitung berdasarkan relasi (20). Nilai-nilai ini tidak ada dalam tabel yang ditentukan.

Tabel 4

Tripel Pythagoras dari kelas "s-8"

Dengan demikian, untuk bentuk tiga kali lipat, hubungan berikut dapat digunakan:

Dan untuk kembar tiga dari formulir<>, kami memiliki rasio:

Harus ditekankan bahwa kelas tiga kali lipat "c - 1", "c - 2", "c - 8" di atas membentuk lebih dari 90% dari seribu tiga kali lipat pertama dari tabel yang diberikan. Ini memberikan alasan untuk mempertimbangkan kelas-kelas ini sebagai basis. Mari kita tambahkan bahwa dalam turunan hubungan (22), (23), (24) tidak ada sifat khusus bilangan yang dipelajari dalam teori bilangan (prima, koprima, dll.) yang digunakan. Keteraturan yang terungkap dalam pembentukan tiga kali lipat Pythagoras hanya disebabkan oleh sifat-sifat sistem dari angka-angka geometris yang dijelaskan oleh tiga kali lipat ini - kotak, yang terdiri dari satu set kotak satuan.

Kesimpulan

Sekarang, seperti yang dikatakan Andrew Wiles pada tahun 1993, "Saya pikir saya harus berhenti di situ." Target yang ditetapkan telah tercapai sepenuhnya. Ditunjukkan bahwa analisis sifat-sifat model matematika, yang strukturnya dikaitkan dengan angka-angka geometris, sangat disederhanakan jika, dalam proses analisis, bersama dengan perhitungan matematis murni, sifat-sifat geometris model yang dipelajari diambil. memperhitungkan. Penyederhanaan dicapai, khususnya, karena fakta bahwa peneliti "melihat" hasil yang diinginkan tanpa melakukan transformasi matematis.

Misalnya persamaan

menjadi jelas tanpa transformasi di sisi kirinya, kita hanya perlu melihat ara. 1 untuk model grafis persamaan ini.

Akibatnya, berdasarkan analisis yang dilakukan, ditunjukkan bahwa untuk setiap persegi dengan sisi, persegi dengan sisi b dan c dapat ditemukan sedemikian rupa sehingga kesetaraan terpenuhi untuk mereka dan diperoleh hubungan yang memberikan hasil dengan jumlah minimum perhitungan:

untuk nilai ganjil a,

dan - untuk nilai genap.

Tautan bibliografi

Semua Pythagoras primitif tiga kali lipat hingga 200. Angka Luar Biasa Profesor Stewart "Pusat Pendidikan Daerah" Pengembangan metodis Menggunakan tripel Pythagoras dalam menyelesaikan masalah geometris dan tugas trigonometri GUNAKAN Kaluga, 2016 Saya Perkenalan Teorema Pythagoras adalah salah satu yang utama dan, bahkan bisa dikatakan, teorema geometri yang paling penting. Signifikansinya terletak pada kenyataan bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan darinya atau dengan bantuannya. Teorema Pythagoras juga luar biasa dalam hal itu sendiri sama sekali tidak jelas. Misalnya, sifat-sifat segitiga sama kaki dapat dilihat langsung pada gambar. Tetapi tidak peduli bagaimana Anda melihat segitiga siku-siku, Anda tidak akan pernah melihat bahwa ada rasio sederhana antara sisi-sisinya: a2+b2=c2. Namun, bukan Pythagoras yang menemukan teorema yang menyandang namanya. Itu diketahui lebih awal, tetapi mungkin hanya sebagai fakta yang diturunkan dari pengukuran. Agaknya, Pythagoras mengetahui hal ini, tetapi menemukan bukti. Ada jumlah tak terbatas bilangan asli a, b, c, memuaskan hubungan a2+b2=c2.. Mereka disebut bilangan Pythagoras. Menurut teorema Pythagoras, bilangan tersebut dapat berfungsi sebagai panjang sisi dari beberapa segitiga siku-siku - kita akan menyebutnya segitiga Pythagoras. Objektif: untuk mempelajari kemungkinan dan efektivitas penggunaan tripel Pythagoras untuk memecahkan masalah kursus matematika sekolah, USE tugas. Berdasarkan tujuan pekerjaan, berikut ini: tugas: Untuk mempelajari sejarah dan klasifikasi tripel Pythagoras. Analisis tugas menggunakan tripel Pythagoras yang tersedia di buku teks sekolah dan ditemukan dalam materi tes dan pengukuran USE. Evaluasi keefektifan penggunaan tripel Pythagoras dan sifat-sifatnya untuk memecahkan masalah. Objek studi: bilangan tiga kali lipat Pythagoras. Subyek studi: tugas kursus sekolah trigonometri dan geometri, di mana tiga kali lipat Pythagoras digunakan. Relevansi penelitian. Trigon Pythagoras sering digunakan dalam geometri dan trigonometri, mengetahuinya akan menghilangkan kesalahan dalam perhitungan dan menghemat waktu. II. Bagian utama. Menyelesaikan masalah menggunakan tripel Pythagoras. 2.1 Tabel tiga kali lipat bilangan Pythagoras (menurut Perelman) Bilangan Pythagoras memiliki bentuk sebuah= M N, , di mana m dan n adalah beberapa bilangan ganjil koprima. Bilangan Pythagoras memiliki sejumlah fitur menarik: Salah satu "kaki" harus kelipatan tiga. Salah satu "kaki" harus kelipatan empat. Salah satu bilangan Pythagoras harus kelipatan lima. Buku "Aljabar Menghibur" berisi tabel tiga kali lipat Pythagoras yang berisi angka hingga seratus, yang tidak memiliki faktor persekutuan. 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 112+602=612 132+842=852 152+82=172 212 +202=292 332+562=652 392+802=892 352+122=372 452+282=532 552+482=732 652+722=972 632+162=652 772+362=852 2.2. Klasifikasi Shustrov tentang tripel Pythagoras. Shustrov menemukan pola berikut: jika semua segitiga Pythagoras dibagi menjadi beberapa kelompok, maka rumus berikut berlaku untuk kaki ganjil x, genap y dan sisi miring z: x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, di mana N adalah jumlah keluarga dan n adalah jumlah urut segitiga dalam keluarga. Mengganti rumus di tempat N dan n bilangan bulat positif apa pun, mulai dari satu, Anda bisa mendapatkan semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras utama, serta kelipatan dari jenis tertentu. Anda dapat membuat tabel dari semua rangkap tiga Pythagoras untuk setiap keluarga. 2.3. tugas planimetri Mari kita pertimbangkan masalah dari berbagai buku teks tentang geometri dan cari tahu seberapa sering tiga kali lipat Pythagoras ditemukan dalam tugas-tugas ini. Masalah sepele dalam menemukan elemen ketiga dalam tabel tiga kali lipat Pythagoras tidak akan dipertimbangkan, meskipun mereka juga ditemukan di buku teks. Mari kita tunjukkan cara mereduksi solusi dari masalah yang datanya tidak dinyatakan dengan bilangan asli menjadi tiga kali lipat Pythagoras. Pertimbangkan tugas dari buku teks geometri untuk kelas 7-9. № 000. Cari hipotenusa segitiga siku-siku sebuah=, b=. Larutan. Kalikan panjang kakinya dengan 7, kita mendapatkan dua elemen dari tripel Pythagoras 3 dan 4. Elemen yang hilang adalah 5, yang kita bagi dengan 7. Jawaban. № 000. Pada persegi panjang ABCD tentukan BC jika CD=1.5, AC=2.5. https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src="> Larutan. Mari kita selesaikan segitiga siku-siku ACD. Kami mengalikan panjangnya dengan 2, kami mendapatkan dua elemen dari tripel Pythagoras 3 dan 5, elemen yang hilang adalah 4, yang kami bagi dengan 2. Jawaban: 2. Saat memecahkan nomor berikutnya, periksa rasionya a2+b2=c2 itu sepenuhnya opsional, cukup menggunakan bilangan Pythagoras dan propertinya. № 000. Cari tahu apakah sebuah segitiga siku-siku jika sisi-sisinya dinyatakan dengan angka: a) 6,8,10 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya; Salah satu kaki segitiga siku-siku harus habis dibagi 4. Jawaban: tidak. c) 9,12,15 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya; d) 10,24,26 (triple Pythagoras 5,12,13) ​​- ya; Salah satu bilangan Pythagoras harus kelipatan lima. Jawaban: tidak. g) 15, 20, 25 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya. Dari tiga puluh sembilan tugas di bagian ini (teorema Pythagoras), dua puluh dua diselesaikan secara lisan menggunakan bilangan Pythagoras dan pengetahuan tentang sifat-sifatnya. Pertimbangkan masalah #000 (dari bagian "Tugas Tambahan"): Hitunglah luas segitiga ABCD dimana AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm. Tugasnya adalah memeriksa rasionya a2+b2=c2 dan buktikan bahwa segi empat yang diberikan terdiri dari dua segitiga siku-siku (teorema terbalik). Dan pengetahuan tentang tiga kali lipat Pythagoras: 3, 4, 5 dan 5, 12, 13, menghilangkan kebutuhan akan perhitungan. Mari kita berikan solusi untuk beberapa masalah dari buku teks tentang geometri untuk kelas 7-9. Soal 156 (h). Kaki sebuah segitiga siku-siku adalah 9 dan 40. Tentukan median yang ditarik ke sisi miring. Larutan . Median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya. Tripel Pythagoras adalah 9,40 dan 41. Oleh karena itu, mediannya adalah 20,5. Soal 156 (i). Sisi segitiga tersebut adalah: sebuah= 13cm, b= 20 cm dan tinggi hс = 12 cm. Temukan alasnya Dengan. Tugas (GUNAKAN KIM). Temukan jari-jari lingkaran pada segitiga lancip ABC jika tinggi BH adalah 12 dan diketahui bahwa: dosa A=,sin C \u003d kiri "\u003e