עלילה y x 2. פונקציות ריבועיות וקוביות

"לוגריתם טבעי" - 0.1. לוגריתמים טבעיים. 4. "חצים לוגריתמיים". 0.04. 7.121.

"פונקציית כוח דרגה 9" - פרבולה מעוקבת. Y = x3. מורה כיתה ט' לדושקינה י.א. Y = x2. הִיפֵּרבּוֹלָה. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n כאשר n הוא מספר טבעי נתון. X. המעריך הוא מספר טבעי זוגי (2n).

"פונקציה ריבועית" - 1 הגדרת פונקציה ריבועית 2 מאפייני פונקציה 3 גרפי פונקציה 4 אי שוויון ריבועי 5 מסקנה. מאפיינים: אי שוויון: הוכן על ידי אנדריי גרליץ, תלמיד כיתה ח'א'. תכנית: גרף: -מרווחים של מונוטוניות ב-> 0 ב-a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"פונקציה ריבועית והגרף שלה" - החלטה. y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A-שייך. כאשר a=1, הנוסחה y=ax מקבלת את הצורה.

"פונקציה ריבועית מחלקה 8" - 1) בנה את החלק העליון של הפרבולה. שרטוט פונקציה ריבועית. איקס. -7. תכננו את הפונקציה. אלגברה כיתה ח מורה 496 בית ספר Bovina TV -1. תכנית בניה. 2) בנה את ציר הסימטריה x=-1. y.

גרף פונקציות הוא ייצוג חזותי של ההתנהגות של פונקציה כלשהי במישור הקואורדינטות. עלילות עוזרות להבין היבטים שונים של פונקציה שלא ניתן לקבוע מהפונקציה עצמה. ניתן לבנות גרפים של פונקציות רבות, וכל אחת מהן תינתן על ידי נוסחה ספציפית. הגרף של כל פונקציה בנוי על פי אלגוריתם מסוים (אם שכחת את התהליך המדויק של ציור גרף של פונקציה מסוימת).

שלבים

שרטוט פונקציה לינארית

קבע אם הפונקציה היא לינארית.פונקציה לינארית ניתנת על ידי נוסחה של הצורה F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)אוֹ y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(לדוגמה, ), והגרף שלו הוא קו ישר. לפיכך, הנוסחה כוללת משתנה אחד וקבוע אחד (קבוע) ללא כל אקספוננטים, סימני שורש וכדומה. בהינתן פונקציה בעלת צורה דומה, התווים של פונקציה כזו היא די פשוטה. להלן דוגמאות נוספות לפונקציות לינאריות:

השתמש בקבוע כדי לסמן נקודה על ציר ה-y.הקבוע (b) הוא קואורדינטת ה-"y" של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר Y. כלומר, זוהי נקודה שקואורדינטת ה-"x" שלה היא 0. לפיכך, אם x = 0 מוחלף בנוסחה , ואז y = b (קבוע). בדוגמה שלנו y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)הקבוע הוא 5, כלומר לנקודת החיתוך עם ציר ה-Y יש קואורדינטות (0,5). צייר נקודה זו במישור הקואורדינטות.

מצא את השיפוע של הקו.זה שווה למכפיל של המשתנה. בדוגמה שלנו y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)עם המשתנה "x" הוא פקטור של 2; לפיכך, השיפוע הוא 2. השיפוע קובע את זווית הנטייה של הקו הישר לציר ה-X, כלומר, ככל שהשיפוע גדול יותר, כך הפונקציה עולה או יורדת מהר יותר.

כתוב את השיפוע כשבר.השיפוע שווה לטנגנס של זווית הנטייה, כלומר היחס בין המרחק האנכי (בין שתי נקודות על קו ישר) למרחק האופקי (בין אותן נקודות). בדוגמה שלנו, השיפוע הוא 2, אז אפשר לומר שהמרחק האנכי הוא 2 והמרחק האופקי הוא 1. כתוב את זה כשבר: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• אם השיפוע שלילי, הפונקציה הולכת ופוחתת.

1. מהנקודה שבה הישר מצטלב עם ציר Y, ​​צייר נקודה שנייה באמצעות המרחקים האנכיים והאופקיים. ניתן לשרטט פונקציה לינארית באמצעות שתי נקודות. בדוגמה שלנו, לנקודת החיתוך עם ציר Y יש קואורדינטות (0.5); מנקודה זו העבר 2 רווחים למעלה ואז רווח 1 ימינה. סמן נקודה; יהיו לו קואורדינטות (1,7). עכשיו אתה יכול לצייר קו ישר.

   השתמש בסרגל כדי לצייר קו ישר דרך שתי נקודות.כדי למנוע טעויות, מצא את הנקודה השלישית, אך ברוב המקרים ניתן לבנות את הגרף באמצעות שתי נקודות. לפיכך, שרטטת פונקציה לינארית.

   ציור נקודות במישור הקואורדינטות

   1. הגדר פונקציה.הפונקציה מסומנת כ-f(x). כל הערכים האפשריים של המשתנה "y" נקראים טווח הפונקציה, וכל הערכים האפשריים של המשתנה "x" נקראים תחום הפונקציה. לדוגמה, שקול את הפונקציה y = x+2, כלומר f(x) = x+2.

      צייר שני קווים ניצבים מצטלבים.הקו האופקי הוא ציר X. הקו האנכי הוא ציר Y.

      סמן את צירי הקואורדינטות.חלקו כל ציר למקטעים שווים ומספרו אותם. נקודת החיתוך של הצירים היא 0. עבור ציר X: מימין (מ-0) משורטים מספרים חיוביים, ומצד שמאל מספרים שליליים. עבור ציר Y: מספרים חיוביים משורטטים למעלה (מ-0), ומספרים שליליים בחלק התחתון.

      מצא את ערכי "y" מתוך ערכי "x".בדוגמה שלנו f(x) = x+2. החלף ערכי "x" מסוימים בנוסחה זו כדי לחשב את ערכי "y" המתאימים. אם ניתנת לפונקציה מורכבת, פשט אותה על ידי בידוד ה-"y" בצד אחד של המשוואה.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. צייר נקודות במישור הקואורדינטות.עבור כל זוג קואורדינטות, בצע את הפעולות הבאות: מצא את הערך המתאים על ציר ה-x וצייר קו אנכי (קו מקווקו); מצא את הערך המתאים על ציר ה-y וצייר קו אופקי (קו מקווקו). סמן את נקודת החיתוך של שני הקווים המקווקוים; לפיכך, שרטטת נקודת גרף.

      מחק את הקווים המקווקוים.עשה זאת לאחר שרטוט כל נקודות הגרף במישור הקואורדינטות. הערה: הגרף של הפונקציה f(x) = x הוא ישר העובר דרך מרכז הקואורדינטות [נקודה עם קואורדינטות (0,0)]; הגרף f(x) = x + 2 הוא קו מקביל לישר f(x) = x, אך מוזז למעלה בשתי יחידות ולכן עובר דרך הנקודה עם קואורדינטות (0,2) (מכיוון שהקבוע הוא 2) .

   תכנון פונקציה מורכבת

   מצא את האפסים של הפונקציה.האפסים של פונקציה הם ערכי המשתנה "x" שבהם y = 0, כלומר אלו נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-x. זכור שלא לכל הפונקציות יש אפסים, אבל זה השלב הראשון בתהליך של תכנון פונקציה כלשהי. כדי למצוא את האפסים של פונקציה, הגדר אותה שווה לאפס. לדוגמה:

   מצא ותייג את האסימפטוטות האופקיות.אסימפטוטה היא קו שהגרף של פונקציה מתקרב אליו אך לעולם אינו חוצה אותו (כלומר, הפונקציה אינה מוגדרת באזור זה, למשל, כאשר מחלקים אותו ב-0). סמן את האסימפטוטה בקו מקווקו. אם המשתנה "x" נמצא במכנה של שבר (לדוגמה, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2)))))), הגדר את המכנה לאפס ומצא "x". בערכים שהתקבלו של המשתנה "x", הפונקציה אינה מוגדרת (בדוגמה שלנו, צייר קווים מקווקוים דרך x = 2 ו-x = -2), מכיוון שלא ניתן לחלק ב-0. אבל אסימפטוטות קיימות לא רק במקרים שבהם הפונקציה מכילה ביטוי שבר. לכן, מומלץ להשתמש בשכל הישר:

בנה עקומה הניתנת על ידי משוואות פרמטריות \

תחילה נלמד את הגרפים של הפונקציות \(x\left(t \right)\) ו-\(x\left(t \right)\). שתי הפונקציות הן פולינומים מעוקבים המוגדרים עבור כל \(x \in \mathbb(R).\) מצאו את הנגזרת \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ right) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] פתרון המשוואה \ ( x"\left(t \right) = 0,\) מגדירים את הנקודות הנייחות של הפונקציה \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) הפונקציה \(x\left(t \right)\) מגיעה למקסימום השווה ל\ ובנקודה \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) יש לה מינימום שווה ל-\[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] שקול את הנגזרת \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] מצא את הנקודות הנייחות של הפונקציה \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] כאן, באופן דומה, הפונקציה \(y\left(t \right)\) מגיעה למקסימום בנקודה \(t = -2:\) \ ולמינימום שלה בנקודה \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \righ t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27) )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] גרפים של פונקציות \(x\left(t) \ right)\), \(y\left(t \right)\) מוצגים באופן סכמטי באיור \(15a.\)

איור 15א		איור 15ב

איור.15ג

שימו לב שמאז \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] אז לעקומה \(y\left(x \right)\) אין אף אנכי, ללא אסימפטוטות אופקיות. יתרה מכך, מאז \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right))))((x\left(t \right)))) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2))))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (כחול)(t^3)) + \color(red)(2(t^2)) - \color(ירוק)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ color (אדום)(t^2) + \color(ירוק)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] אז גם לעקומה \(y\left(x \right)\) אין אסימפטוטות אלכסוניות.

בואו נקבע את נקודות החיתוך של הגרף \(y\left(x \right)\) עם צירי הקואורדינטות. החיתוך עם ציר ה-x מתרחש בנקודות הבאות: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\חץ ימינה D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ חץ ימינה (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

\ \[ (x\left(((t_2)) \right) = x\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ^3) + (\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right)^2) - \left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 + 3\sqrt) 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \approx 20.18;) \] \[ (x\left(((t_3)) \right) = x\left(( - 1 + \ sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^3) + (\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^2) - \ left( ( - 1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \בערך 2.18. ) \] ב באותו אופן, אנו מוצאים את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-y: \[ (x\left(t \right) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\; \; (\rightarrow t\left(((t^2) + t - 1) \right) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\חץ ימינה D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ חץ ימינה (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)

\ \[ (y\left(((t_2)) \right) = y\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ((\left((\ frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^2) - 4\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \cancel(2) - \cancel(\sqrt 5) + 3 + \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \approx 7.47 ;) \] \[ (y\left(((t_3)) \right) = y\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ((\left (( \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2))) \right) ^2 ) - 4\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 - \sqrt 5 ) \right ) ) = ( - \cancel(2) + \cancel(\sqrt 5) + 3 - \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \approx - 1.47 .) \] חלקו את הציר \(t\) לתוך מרווחי \(5\): \[ (\left(( - \infty, - 2) \right),)\;\; (\left(( - 2, - 1) \right),)\;\; (\left(( - 1,\frac(1)(3)) \right),)\;\; (\left((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \right),)\;\; (\left((\frac(2)(3), + \infty ) \right).) \] במרווח הראשון \(\left(( - \infty, - 2) \right)\) הערכים ​​\(x \) ו-\(y\) גדלים מ-\(-\infty\) ל-\(x\left(( - 2) \right) = - 2\) ו-\(y\left(( - 2) ) \right) = 8.\) זה מוצג באופן סכמטי באיור \(15b.\)

במרווח השני \(\left(( - 2, - 1) \right)\) המשתנה \(x\) גדל מ-\(x\left(( - 2) \right) = - 2\) ל-\ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) והמשתנה \(y\) יורד מ-\(y\left(( - 2) \right) = 8\) ל-\(y\left (( - 1) \right) = 5.\) כאן יש לנו קטע של העקומה היורדת \(y\left(x \right).\) הוא חותך את ציר ה-y בנקודה \(\left(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \right).\)

במרווח השלישי \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) שני המשתנים יורדים. \(x\) משתנה מ-\(x\left(( - 1) \right) = 1\) ל-\(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) בהתאם, \(y\) יורד מ-\(y\left(( - 1) \right) = 5\) ל-\(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) עקומה \(y\left(x \right)\ ) חותכת מקור הקואורדינטות.

במרווח הרביעי \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) המשתנה \(x\) גדל מ- \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) ל-\(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) והמשתנה \(y\) יורד מ-\(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) ל-\(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) בקטע זה, העקומה \(y\left(x \right)\) חותכת את ציר ה-y בנקודה \(\left( (0.3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)

לבסוף, במרווח האחרון \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, +\infty ) \right)\) שתי הפונקציות \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) להגדיל. העקומה \(y\left(x \right)\) חותכת את ציר ה-x בנקודה \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)

כדי לחדד את צורת העקומה \(y\left(x \right)\), אנו מחשבים את נקודות המקסימום והמינימום. הנגזרת \(y"\left(x \right)\) מבוטאת כ-\[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right)))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ right)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right)))) = (\frac(( \ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right))))((\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] השינוי בסימן של הנגזרת \(y"\left(x \right)\) מוצג באיור \(15c.\) ניתן לראות שבנקודה \(t = - 2,\) כלומר. על הגבול של המרווחים \(I\)th ו-\(II\)th, לעקומה יש מקסימום, ועבור \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (על הגבול מרווחים של \(IV\) th ו-\(V\)th) יש מינימום. כאשר עוברים דרך הנקודה \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) הנגזרת משנה גם את הסימן מפלוס למינוס, אבל באזור זה העקומה \(y\left(x \right)\ ) אינה פונקציה חד משמעית. לכן, הנקודה המצוינת אינה נקודת קיצון.

אנו גם חוקרים את הקמורות של עקומה זו. נגזרת שניהל-\(y""\left(x \right)\) יש את הצורה: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ((y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t)))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4 ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ right ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(כחול)(18(t^3))) + \color(אדום)(24(t^2)) + \color(ירוק)(2t) - \color(אדום) ( 4) - \cancel(\color(כחול)(18(t^3))) - \color(אדום)(30(t^2)) + \color(ירוק)(16t) + \color(אדום) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2 ) ) + \color(ירוק)(18t) + \color(אדום)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \right))^3))). \] כתוצאה מכך, הנגזרת השנייה משנה את הסימן שלה להיפך כאשר היא עוברת דרך הנקודות הבאות (איור\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40,8.) \] לכן, נקודות אלו הן נקודות פיתול של העקומה \(y\left (x \right).\)

תרשים סכמטי של העקומה \(y\left(x \right)\) מוצג למעלה באיור \(15b.\)

איך בונים פרבולה? ישנן מספר דרכים לצייר גרף של פונקציה ריבועית. לכל אחד מהם יש את היתרונות והחסרונות שלו. הבה נבחן שתי דרכים.

נתחיל בשרטוט פונקציה ריבועית כמו y=x²+bx+c ו-y= -x²+bx+c.

דוגמא.

שרטטו את הפונקציה y=x²+2x-3.

פִּתָרוֹן:

y=x²+2x-3 היא פונקציה ריבועית. הגרף הוא פרבולה עם ענפים למעלה. קואורדינטות קודקוד פרבולה

מהקודקוד (-1;-4) בונים גרף של הפרבולה y=x² (כמו מהמקור. במקום (0;0) - הקודקוד (-1;-4). מתוך (-1;- 4) אנחנו הולכים ימינה ביחידה אחת ומעלה ב-1, ואז שמאלה ב-1 ומעלה ב-1, ואז: 2 - ימינה, 4 - למעלה, 2 - שמאלה, 4 - למעלה, 3 - ימינה, 9 - למעלה, 3 - שמאלה, 9 - למעלה. 7 הנקודות הללו אינן מספיקות, ואז - 4 ימינה, 16 - למעלה וכו').

הגרף של הפונקציה הריבועית y= -x²+bx+c הוא פרבולה שהענפים שלה מכוונים כלפי מטה. כדי לבנות גרף, אנחנו מחפשים את הקואורדינטות של הקודקוד וממנו בונים פרבולה y= -x².

דוגמא.

צייר את הפונקציה y= -x²+2x+8.

פִּתָרוֹן:

y= -x²+2x+8 היא פונקציה ריבועית. הגרף הוא פרבולה עם ענפים למטה. קואורדינטות קודקוד פרבולה

מלמעלה אנו בונים פרבולה y = -x² (1 - ימינה, 1 - למטה; 1 - שמאלה, 1 - למטה; 2 - ימינה, 4 - למטה; 2 - שמאלה, 4 - למטה, וכו'):

שיטה זו מאפשרת לבנות פרבולה במהירות ואינה גורמת לקשיים אם יודעים לשרטט את הפונקציות y=x² ו-y= -x². חסרון: אם קואורדינטות הקודקוד הן מספרים שברים, התרשים לא נוח במיוחד. אם אתה רוצה לדעת את הערכים המדויקים של נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-x, תצטרך לפתור בנוסף את המשוואה x² + bx + c = 0 (או -x² + bx + c = 0), גם אם ניתן לקבוע את הנקודות הללו ישירות מהאיור.

דרך נוספת לבנות פרבולה היא לפי נקודות, כלומר ניתן למצוא מספר נקודות בגרף ולשרטט דרכן פרבולה (בהתחשב בעובדה שהקו x=xₒ הוא ציר הסימטריה שלו). בדרך כלל, לשם כך, הם לוקחים את החלק העליון של הפרבולה, את נקודות החיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות ו-1-2 נקודות נוספות.

צייר את הפונקציה y=x²+5x+4.

פִּתָרוֹן:

y=x²+5x+4 היא פונקציה ריבועית. הגרף הוא פרבולה עם ענפים למעלה. קואורדינטות קודקוד פרבולה

כלומר, החלק העליון של הפרבולה הוא הנקודה (-2.5; -2.25).

מחפשים . בנקודת החיתוך עם ציר השור y=0: x²+5x+4=0. השורשים של המשוואה הריבועית x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, כלומר, הם קיבלו שתי נקודות על הגרף (-1; 0) ו-(-4; 0).

בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. יש נקודה (0; 4).

כדי לחדד את הגרף, תוכל למצוא נקודה נוספת. ניקח את x=1, ואז y=1²+5∙1+4=10, כלומר עוד נקודה אחת בגרף - (1; 10). אנו מסמנים את הנקודות הללו במישור הקואורדינטות. בהתחשב בסימטריה של הפרבולה ביחס לקו הישר העובר בקודקוד שלה, נסמן שתי נקודות נוספות: (-5; 6) ו-(-6; 10) ונצייר פרבולה דרכן:

צייר את הפונקציה y= -x²-3x.

פִּתָרוֹן:

y= -x²-3x היא פונקציה ריבועית. הגרף הוא פרבולה עם ענפים למטה. קואורדינטות קודקוד פרבולה

החלק העליון (-1.5; 2.25) הוא הנקודה הראשונה של הפרבולה.

בנקודות החיתוך של הגרף עם ציר x y=0, כלומר נפתור את המשוואה -x²-3x=0. השורשים שלו הם x=0 ו-x=-3, כלומר (0; 0) ו-(-3; 0) הן שתי נקודות נוספות בגרף. הנקודה (o; 0) היא גם נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-y.

ב-x=1 y=-1²-3∙1=-4, כלומר (1; -4) היא נקודה נוספת לשרטוט.

בניית פרבולה מנקודות היא שיטה שלוקחת זמן רב יותר בהשוואה לשיטה הראשונה. אם הפרבולה לא חותכת את ציר השור, יידרשו עוד נקודות נוספות.

לפני המשך בניית גרפים של פונקציות ריבועיות בצורה y=ax²+bx+c, שקול את הבנייה של גרפים של פונקציות באמצעות טרנספורמציות גיאומטריות. גם גרפים של פונקציות בצורה y=x²+c נוחים ביותר לבנייה באמצעות אחת מהטרנספורמציות הללו - תרגום מקביל.

כותרת: |

תוכנית לבניית פונקציה ריבועית.

1. דומיין פונקציה (ד(y)).

2. הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה, שענפיה מכוונים למעלה (למטה), מכיוון a = __ > 0 (a = __< 0).

3. קואורדינטות של החלק העליון של הפרבולה.

4. משוואת ציר הסימטריה.

5. נקודת חיתוך של הגרף עם הצירOY.

6. אפסים פונקציה.

7. טבלת ערכי פונקציות.

8. גרף.

דוגמה לשרטוט גרף פונקציות y = איקס 2 – 4 איקס + 3

1. ד(y) = (- ∞; + ∞).

2. הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה, שענפיה מכוונים כלפי מעלה, שכן \u003d 1\u003e 0.

3. קואורדינטות קודקוד פרבולה:

איקס 0 = - , y 0 = 2 2 - 4 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1.

4. משוואת ציר הסימטריהאיקס = 2.

5. נקודת חיתוך עם הצירOY (0; 3).

6. אפסי פונקציה:

איקס 2 – 4 איקס + 3 = 0 ד = (- 4) 2 – 4 1 3 = 16 -12 = 4 = 2 2

איקס 1 = = 1 איקס 2 = = 3

7. בואו נעשה טבלה של ערכי פונקציות:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. בואו נבנה גרף

מאפייני פונקציה:

1. קבוצת ערכי הפונקציה (ה (y)).

2. מרווחי קביעות של הפונקציה (y>0, y<0).

3. מרווחים של מונוטוניות פונקציה (עלייה, ירידה).

4. נקודות של מקסימום ומינימום של הפונקציה.

מאפייני פונקציה y = איקס 2 – 4 איקס + 3.

1. ה (y) = [-1; + ∞).

2. y < 0, при איקס (1; 3).