מספרים ראשוניים בשלשות פיתגורס. שלישיות פיתגורס
חקר תכונות המספרים הטבעיים הוביל את הפיתגוראים לבעיה "נצחית" נוספת של חשבון תיאורטי (תורת המספרים) - בעיה שהחיידקים שלה עשו את דרכם הרבה לפני פיתגורס במצרים העתיקה ובבל העתיקה, ולא נמצא פתרון כללי. עד כה. נתחיל בבעיה, שבמונחים מודרניים ניתן לנסח אותה כך: פתרו את המשוואה הבלתי מוגדרת במספרים טבעיים
היום קוראים למשימה הזו בעיה של פיתגורס, והפתרונות שלו - שלשות של מספרים טבעיים המספקים משוואה (1.2.1) - נקראים שלישיות פיתגורס. בשל הקשר הברור של משפט פיתגורס עם בעיית פיתגורס, ניתן לתת לזה האחרון ניסוח גיאומטרי: מצא את כל המשולשים הישרים עם רגליים שלמות איקס, yו-hypotenuse מספר שלם ז.
פתרונות מיוחדים לבעיית פיתגורס היו ידועים בימי קדם. בפפירוס מתקופת פרעה אמנמט הראשון (בערך 2000 לפנה"ס), המאוחסן במוזיאון המצרי בברלין, אנו מוצאים משולש ישר זווית עם יחס רוחב-גובה (). לפי ההיסטוריון הגרמני הגדול ביותר למתמטיקה מ' קנטור (1829 - 1920), במצרים העתיקה היה מקצוע מיוחד נבלנים- "מותחי חבלים", שבמהלך הטקס החגיגי של הנחת מקדשים ופירמידות סימנו זוויות ישרות בחבל בעל 12 (= 3 + 4 + 5) קשרים ברווח שווה. השיטה של בניית זווית ישרה עם נבלונים ברורה מאיור 36.
יש לומר כי אנין אחר של מתמטיקה עתיקה, ואן דר וארדן, חולק באופן מוחלט על קנטור, אם כי עצם הפרופורציות של האדריכלות המצרית העתיקה מעידה על קנטור. כך או כך, היום נקרא משולש ישר זווית עם יחס רוחב-גובה מִצרִי.
כפי שצוין בעמוד. 76, נשמר לוח חרס המתוארך לתקופה הבבלית העתיקה ומכיל 15 שורות של שלישיות פיתגוריות. בנוסף לטריפל הטריוויאלי המתקבל מהמצרי (3, 4, 5) על ידי הכפלה ב-15 (45, 60, 75), יש גם שלשות פיתגוריות מורכבות מאוד, כמו (3367, 3456, 4825) ואפילו (12709) , 13500, 18541)! אין ספק שהמספרים הללו נמצאו לא לפי ספירה פשוטה, אלא לפי כמה כללים אחידים.
אף על פי כן, שאלת הפתרון הכללי של המשוואה (1.2.1) במספרים טבעיים הועלתה ונפתרה רק על ידי הפיתגוראים. הניסוח הכללי של כל בעיה מתמטית היה זר הן למצרים הקדמונים והן לבבלים הקדמונים. רק עם פיתגורס מתחילה היווצרותה של המתמטיקה כמדע דדוקטיבי, ואחד הצעדים הראשונים בנתיב זה היה פתרון בעיית השלשות הפיתגוריות. המסורת העתיקה מקשרת את הפתרונות הראשונים של המשוואה (1.2.1) עם שמותיהם של פיתגורס ואפלטון. בואו ננסה לשחזר את הפתרונות הללו.
ברור שפיתגורס חשב על משוואה (1.2.1) לא בצורה אנליטית, אלא בצורה של מספר ריבוע , שבתוכו היה צורך למצוא את המספרים הריבועיים ו. זה היה טבעי לייצג את המספר בצורה של ריבוע עם צלע yצד אחד פחות זריבוע מקורי, כלומר. לאחר מכן, כפי שקל לראות מאיור 37 (רק ראה!), עבור מספר הריבוע הנותר, יש לספק את השוויון. לפיכך, אנו מגיעים למערכת של משוואות ליניאריות
בחיבור והפחתה של המשוואות הללו, נמצא את הפתרון של המשוואה (1.2.1):
קל לראות שהפתרון המתקבל נותן מספרים טבעיים רק עבור אי זוגיים. כך, סוף סוף יש לנו
וכן הלאה. המסורת קושרת את ההחלטה הזו עם שמו של פיתגורס.
שימו לב שניתן לקבל את המערכת (1.2.2) גם באופן רשמי מהמשוואה (1.2.1). אכן,
מהיכן, בהנחה, אנו מגיעים ל-(1.2.2).
ברור שהפתרון הפיתגורי נמצא תחת אילוץ די נוקשה () ומכיל רחוק מכל השלשות הפיתגוריות. השלב הבא הוא לשים , אם כן , שכן רק במקרה זה יהיה מספר ריבועי. אז המערכת מתעוררת תהיה גם משולשת פיתגורית. עכשיו העיקרית
מִשׁפָּט.אם עו שמספרים ראשוניים בעלי זוגיות שונה, אז כל השלשות הפיתגוריות הפרימיטיביות נמצאות לפי הנוסחאות
Beskrovny I.M. אחד
1 OAO Angstrem-M
מטרת העבודה היא לפתח שיטות ואלגוריתמים לחישוב שלשות פיתגוריות בצורה a2+b2=c2. תהליך הניתוח בוצע בהתאם לעקרונות של גישה שיטתית. לצד מודלים מתמטיים, נעשה שימוש במודלים גרפיים המציגים כל איבר בטריפל הפיתגורי בצורה של ריבועים מורכבים, שכל אחד מהם מורכב מקבוצה של ריבועים יחידה. נקבע כי קבוצה אינסופית של שלשות פיתגוריות מכילה מספר אינסופי של תת-קבוצות המבדילות בהבדל בין הערכים b-c. מוצע אלגוריתם להיווצרות שלשות פיתגוריות עם כל ערך קבוע מראש של הפרש זה. הוכח ששלשות פיתגוריות קיימות עבור כל ערך 3≤a
שלישיות פיתגורס
ניתוח מערכות
מודל מתמטי
דגם גרפי
1. אנוסוב ד.נ. מבט על מתמטיקה ומשהו ממנה. - מ.: MTSNMO, 2003. - 24 עמ': ill.
2. Ayerland K., Rosen M. מבוא קלאסי לתורת המספרים המודרנית. – מ.: מיר, 1987.
3. Beskrovny I.M. ניתוח מערכות וטכנולוגיית מידע בארגונים: ספר לימוד. - מ.: RUDN, 2012. - 392 עמ'.
4. סיימון סינג. המשפט האחרון של פרמה.
5. פרמה פ. מחקרים בתורת המספרים וניתוח דיופנטי. – מ.: נאוקה, 1992.
6. יאפטרו. Ucoz, זמין בכתובת: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.
שלשות פיתגורס הן עוקבה של שלושה מספרים שלמים העומדים בקשר הפיתגורי x2 + y2 = z2. באופן כללי, זהו מקרה מיוחד של משוואות דיופנטיות, כלומר מערכות משוואות שבהן מספר הלא ידועים גדול ממספר המשוואות. הם ידועים זמן רב, עוד מימי בבל, כלומר הרבה לפני פיתגורס. והם רכשו את השם לאחר שפיתגורס הוכיח את המשפט המפורסם שלו על בסיסם. אולם, כעולה מניתוח של מקורות רבים שבהם נוגעים בשאלת השלשות הפיתגוריות בדרך זו או אחרת, שאלת המעמדות הקיימים של השלשות הללו ודרכי היווצרותן האפשריות טרם נחשפה במלואה.
אז בספר שמעון סינג נאמר: - "התלמידים וחסידיו של פיתגורס... סיפרו לעולם את סוד מציאת מה שנקרא שלוש ק' של פיתגורס." אולם בעקבות זאת אנו קוראים: - "הפיתגוראים חלמו למצוא שלשות פיתגוריות אחרות, ריבועים אחרים, שמהם ניתן יהיה להוסיף ריבוע שלישי גדול. ...ככל שהמספרים גדלים, השלשות של פיתגורס הופכות נדירות יותר ויותר ויותר קשה למצוא. הפיתגוראים המציאו שיטה למציאת שלישיות כאלה ובאמצעותה הוכיחו שיש אינסוף שלשות פיתגוריות.
מילים שגורמות לבלבול מודגשות בציטוט. מדוע "הפיתגוראים חלמו למצוא..." אם הם "המציאו שיטה למציאת שלשות כאלה...", ומדוע עבור מספרים גדולים "נעשה קשה יותר ויותר למצוא אותם...".
בעבודתו של המתמטיקאי המפורסם D.V. אנוסוב, נראה שהתשובה הרצויה ניתנת. - "ישנן שלשות כאלה של מספרים טבעיים (כלומר מספר שלם חיובי) x, y, z ש
x2 + y2 = z2. (אחד)
…האם ניתן למצוא את כל הפתרונות של המשוואה x2+y2=z2 במספרים טבעיים? …כן. התשובה היא שכל פתרון כזה יכול להיות מיוצג כ
x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),
כאשר l, m, n הם מספרים טבעיים, ו-m>n, או בצורה דומה שבה x ו-y מתחלפים. אנו יכולים לומר בקצרה מעט יותר ש-x, y, z מ-(2) עם כל הטבעים האפשריים l ו-m > n הם כולם פתרונות אפשריים של (1) עד לתמורה של x ו-y. לדוגמה, המשולש (3, 4, 5) מתקבל עם l=1, m=2, n=1. ... ככל הנראה, הבבלים ידעו את התשובה הזו, אבל איך הגיעו אליה לא ידוע”.
בדרך כלל מתמטיקאים ידועים בדייקנותם בקפדנות הניסוחים שלהם. אבל, בציטוט זה, קפדנות כזו לא נשמרת. אז מה בדיוק: למצוא או לדמיין? ברור שאלו דברים שונים לגמרי. להלן שורה של טריפלים "אפויים טריים" (שהושגו בשיטה המתוארת להלן):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
אין ספק שכל אחד מהשלשות הללו יכול להיות מיוצג בצורה של יחס (2) ואז ניתן לחשב את הערכים של l, m, n. אבל, זה אחרי שנמצאו כל הערכים של השלשות. אבל מה עם לפני זה?
לא ניתן לשלול שהתשובות לשאלות אלו ידועות מזמן. אבל משום מה, הם עדיין לא נמצאו. לפיכך, מטרת עבודה זו היא ניתוח שיטתי של מכלול הדוגמאות הידועות לשלשות פיתגוריות, חיפוש אחר יחסים יוצרי מערכת בקבוצות שונות של שלשות וזיהוי תכונות מערכתיות האופייניות לקבוצות אלו, ולאחר מכן פיתוח של מערכות פשוטות. אלגוריתמים יעילים לחישוב שלשות עם תצורה קבועה מראש. בתצורה, אנו מתכוונים ליחס בין הכמויות המרכיבות את המשולש.
כערכת כלים, מנגנון מתמטי ברמה שאינה חורגת ממסגרת המתמטיקה הנלמדת בתיכון, וניתוח מערכות המבוסס על השיטות המתוארות ב.
בניית דגמים
מנקודת המבט של ניתוח מערכת, כל משולש פיתגורי הוא מערכת שנוצרת על ידי עצמים, שהם שלושה מספרים ותכונותיהם. הטוטאליות שלהם, שבה אובייקטים ממוקמים ביחסים מסוימים ויוצרים מערכת שיש לה תכונות חדשות שאינן טבועות לא באובייקטים בודדים או בכל אובייקט אחר במכלול שלהם, כאשר אובייקטים ממוקמים ביחסים אחרים.
במשוואה (1), אובייקטי המערכת הם מספרים טבעיים הקשורים ביחסים אלגבריים פשוטים: משמאל לסימן השוויון מורם סכום שני מספרים בחזקת 2, מימין המספר השלישי, גם הוא מורם. בחזקת 2. מספרים בודדים, משמאל לשוויון, כשהם מועלים בחזקת 2, אינם מטילים כל הגבלה על פעולת הסיכום שלהם - הסכום המתקבל יכול להיות כל דבר. אבל, סימן השוויון המוצב לאחר פעולת הסיכום מטיל הגבלה מערכתית על ערכו של סכום זה: הסכום חייב להיות מספר כזה שתוצאת פעולת חילוץ השורש הריבועי היא מספר טבעי. ותנאי זה אינו מתקיים עבור אף מספר שהוחלף בצד השמאלי של השוויון. לפיכך, סימן השוויון בין שני איברים של המשוואה לשלישי הופך את משולשת האיברים למערכת. תכונה חדשה של מערכת זו היא הכנסת הגבלות על ערכי המספרים המקוריים.
בהתבסס על צורת הכתיבה, המשולש הפיתגורי יכול להיחשב כמודל מתמטי של מערכת גיאומטרית המורכבת משלושה ריבועים המחוברים ביניהם על ידי סיכום ויחסי שוויון, כפי שמוצג באיור. 1. איור. 1 הוא מודל גרפי של המערכת הנבדקת, והמודל המילולי שלו הוא ההצהרה:
ניתן לחלק את שטחו של ריבוע עם אורך הצלע c ללא שארית לשני ריבועים עם אורכי הצלעות a ו-b, כך שסכום שטחיהם שווה לשטח הריבוע המקורי, כלומר שלושתם. הכמויות a, b ו-c קשורות בקשר
מודל גרפי של פירוק ריבוע
במסגרת הקנונים של ניתוח המערכת, ידוע שאם מודל מתמטי משקף בצורה נאותה את המאפיינים של מערכת גיאומטרית מסוימת, אזי ניתוח המאפיינים של מערכת זו בעצמה מאפשר לנו להבהיר את תכונות המודל המתמטי שלה, כדי להכיר אותם יותר לעומק, להבהיר, ובמידת הצורך לשפר. זו הדרך בה נלך.
הבה נבהיר כי על פי עקרונות ניתוח המערכת, ניתן לבצע פעולות חיבור וחיסור רק על אובייקטים מרוכבים, כלומר אובייקטים המורכבים מקבוצה של אובייקטים יסודיים. לכן, נתפוס כל ריבוע כדמות המורכבת מקבוצה של ריבועים יסודיים או יחידות. אז התנאי לקבלת פתרון במספרים טבעיים שווה ערך לקבלת התנאי שריבוע היחידה אינה ניתנת לחלוקה.
ריבוע יחידה הוא ריבוע שאורכו של כל צלע שווה לאחד. כלומר, כאשר השטח של ריבוע יחידה קובע את הביטוי הבא.
הפרמטר הכמותי של ריבוע הוא השטח שלו, הנקבע לפי מספר ריבועי היחידה שניתן למקם על שטח נתון. עבור ריבוע עם ערך שרירותי של x, הביטוי x2 קובע את שטח הריבוע שנוצר על ידי קטעים באורך x מקטעי יחידה. ניתן למקם ריבועים של x2 יחידות על שטח הריבוע הזה.
ההגדרות הנ"ל עשויות להיתפס כסתמיות ומובנות מאליהן, אך הן לא. ד.נ. אנוסוב מגדיר את מושג השטח בצורה שונה: "... שטחה של דמות שווה לסכום שטחי חלקיה. למה אנחנו בטוחים שזה כך? ... אנו מדמיינים דמות העשויה מחומר הומוגני כלשהו, ואז שטחה פרופורציונלי לכמות החומר הכלול בה - המסה שלה. עוד מובן שכאשר אנו מחלקים גוף למספר חלקים, סכום המסות שלהם שווה למסה של הגוף המקורי. זה מובן, כי הכל מורכב מאטומים ומולקולות, ומאחר שמספרם לא השתנה, גם המסה הכוללת שלהם לא השתנתה... הרי למעשה, המסה של פיסת חומר הומוגנית פרופורציונלית לנפח שלה; לכן, עליך לדעת שנפח ה"גיליון" בעל צורה של דמות נתונה הוא פרופורציונלי לשטחו. במילה אחת, ... ששטחה של דמות שווה לסכום שטחי חלקיה, בגיאומטריה יש צורך להוכיח זאת. ...בספר הלימוד של כיסלב, קיומו של אזור שיש לו את עצם המאפיין שאנו דנים בו כעת הונח ביושר כאיזושהי הנחה, ונאמר שזה אכן נכון, אך לא נוכיח זאת. אז משפט פיתגורס, אם יוכח עם שטחים, במובן הגיוני בלבד, יישאר לא מוכח לחלוטין.
נראה לנו שהגדרות ריבוע היחידה שהוצגו לעיל מסירות את ה-D.N. אי ודאות אנוסוב. אחרי הכל, אם שטחם של ריבוע ומלבן נקבע על פי סכום ריבועי היחידה הממלאים אותם, אז כאשר המלבן מחולק לחלקים סמוכים שרירותיים, שטח המלבן שווה באופן טבעי ל- סכום כל חלקיו.
יתרה מכך, ההגדרות שהוצגו מסירות את אי הוודאות שבשימוש במושגים "חלוקה" ו"הוסף" ביחס לדמויות גיאומטריות מופשטות. ואכן, מה זה אומר לחלק מלבן או כל דמות שטוחה אחרת לחלקים? אם זה דף נייר, אז זה יכול להיות חתוך עם מספריים. אם הארץ - לשים גדר. חדר - לשים מחיצה. מה אם זה ריבוע מצויר? לצייר קו מפריד ולהכריז שהריבוע מחולק? אבל אחרי הכל, D.I. מנדלייב: "... אתה יכול להכריז על הכל, אבל אתה - קדימה, תפגין!"
ובאמצעות ההגדרות המוצעות, "חלק דמות" פירושו לחלק את מספר ריבועי היחידה הממלאים את הדמות הזו לשני חלקים (או יותר). מספר ריבועי היחידות בכל אחד מהחלקים הללו קובע את שטחו. ניתן לתת את התצורה של חלקים אלה באופן שרירותי, אך סכום השטחים שלהם תמיד יהיה שווה לשטח הדמות המקורית. אולי, מתמטיקאים יתייחסו לטיעונים האלה לא נכונים, ואז ניקח אותם כהנחה. אם הנחות כאלה מקובלות בספר הלימוד של קיסליוב, אז זה יהיה חטא עבורנו לא להשתמש בטכניקה כזו.
השלב הראשון בניתוח המערכת הוא לזהות את מצב הבעיה. בתחילת שלב זה נבדקו כמה מאות שלשות פיתגוריות שנמצאו במקורות שונים. יחד עם זאת, תשומת הלב הופנתה לעובדה שניתן לחלק את כל מכלול השלשות הפיתגוריות המוזכרות בפרסומים למספר קבוצות השונות בתצורה. נשקול את ההבדל באורכי הצלעות של הריבועים המקוריים והחסרים, כלומר את הערך c-b, כסימן לתצורה ספציפית. לדוגמה, בפרסומים, שלשות המקיימות את התנאי c-b=1 מוצגות לרוב כדוגמה. אנו מניחים שכל הסט של שלשות פיתגוריות כאלה יוצר קבוצה, שנכנה אותה "מחלקה c-1", וננתח את המאפיינים של מחלקה זו.
שקול את שלושת הריבועים המוצגים באיור, כאשר c הוא אורך הצלע של הריבוע שיש להקטין, b הוא אורך הצלע של הריבוע שיש לגרוע, ו-a הוא אורך הצלע של הריבוע שנוצר. מההבדל ביניהם. על איור. 1 ניתן לראות שכאשר מחסירים את שטח הריבוע המופחת משטח הריבוע המופחת, נשארות שתי פסים של ריבועי יחידה בשאר:
כדי ליצור ריבוע משארית זו, יש לעמוד בתנאי
יחסים אלה מאפשרים לנו לקבוע את הערכים של כל חברי המשולש לפי מספר נתון יחיד ג. המספר הקטן ביותר c המקיים את היחס (6) הוא c = 5. לפיכך, נקבעו האורכיים של כל שלוש הצלעות של ריבועים המקיימים את הקשר (1). נזכיר שהערך b של הצלע של הריבוע הממוצע
נבחר כאשר החלטנו ליצור ריבוע אמצעי על ידי צמצום הצלע של הריבוע המקורי באחד. ואז מיחסים (5), (6). (7) אנו מקבלים את הקשר הבא:
שממנו נובע שהערך הנבחר c = 5 קובע באופן ייחודי את הערכים b = 4, a = 3.
כתוצאה מכך, מתקבלים יחסים המאפשרים לייצג כל משולש פיתגורי מהמחלקה "c - 1" בצורה כזו, שבה הערכים של כל שלושת האיברים נקבעים על ידי פרמטר שצוין אחד - הערך c:
נוסיף שהמספר 5 בדוגמה לעיל הופיע כמינימום מכל הערכים האפשריים של c שלמשוואה (6) יש פתרון במספרים טבעיים. המספר הבא בעל אותה תכונה הוא 13, ואז 25, ואז 41, 61, 85 וכו'. כפי שניתן לראות, בסדרת המספרים הזו, המרווחים בין מספרים סמוכים גדלים במהירות. אז, למשל, אחרי ערך חוקי , הערך התקף הבא הוא , ואחרי , הערך התקף הבא הוא , כלומר, הערך התקף הוא יותר מחמישים מיליון מהערך הקודם!
כעת ברור מאיפה בא המשפט הזה בספר: "ככל שהמספרים גדלים, השלשות של פיתגורס שכיחות פחות ופחות, ונעשה יותר ויותר קשה למצוא אותן...". אולם אמירה זו אינה נכונה. צריך רק להסתכל על השלשות הפיתגוריות התואמות לזוגות הערכים השכנים של c לעיל, שכן תכונה אחת מושכת את העין מיד - בשני הזוגות, שבהם הערכים של c מופרדים במרווחים כה גדולים, מסתבר שערכים של a הם מספרים אי-זוגיים שכנים. אכן, לזוג הראשון שיש לנו
ולזוג השני
אז לא השלשות עצמן "פחות ופחות נפוצות", אלא המרווחים בין ערכים שכנים של c הולכים וגדלים. השלשות הפיתגוריות עצמן, כפי שיוצג להלן, קיימות עבור כל מספר טבעי.
עכשיו שקול את השלשות של הכיתה הבאה - "מחלקה c-2". כפי שניתן לראות מאיור. 1, כאשר מחסירים מריבוע עם צלע c ריבוע עם צלע (c - 2), היתרה היא סכום של שתי פסי יחידות. הערך של סכום זה נקבע על ידי המשוואה:
ממשוואה (10) נקבל קשר שמגדיר כל אחד מהקבוצה האינסופית של המחלקה המשולשת "c-2":
התנאי לקיומו של פתרון למשוואה (11) במספרים טבעיים הוא כל ערך כזה c שעבורו a הוא מספר טבעי. הערך המינימלי של c שעבורו קיים פתרון הוא c = 5. ואז הטריפל ה"מתחיל" עבור מחלקה זו של שלשות נקבע על ידי קבוצת a = 4, b = 3, c = 5. כלומר, שוב, הקלאסית נוצר משולש 3, 4, 5, רק כעת שטח הריבוע שיש לגרוע קטן משטח השארית.
ולבסוף, בואו ננתח את השלשות של מחלקת "s-8". עבור מחלקה זו של שלשות, בהפחתת שטח הריבוע משטח c2 של הריבוע המקורי, נקבל:
לאחר מכן, מהמשוואה (12) זה נובע:
הערך המינימלי של c שעבורו קיים הפתרון הוא c = 13. המשולש של פיתגורס בערך זה יקבל את הצורה 12, 5, 13. במקרה זה, שטח הריבוע שיש לגרוע שוב קטן מ- שטח של השאר. וסידור מחדש של הייעודים במקומות, נקבל את המשולש 5, 12, 13, שלפי תצורתו שייך למחלקה "c - 1". נראה שניתוח נוסף של תצורות אפשריות אחרות לא יגלה שום דבר חדש ביסודו.
גזירת יחסים מחושבים
בסעיף הקודם פותחה היגיון של הניתוח בהתאם לדרישות ניתוח המערכת בארבעה מחמשת השלבים העיקריים שלו: ניתוח מצב הבעיה, יצירת מטרות, יצירת פונקציות ויצירת מבנה. כעת הגיע הזמן לעבור לשלב האחרון, החמישי - מבחן ההיתכנות, כלומר מבחן מידת השגת היעדים. .
טבלה 1 מוצגת להלן. 1, המציגה את ערכי השלשות הפיתגוריות השייכות למחלקה "c - 1". רוב השלשות נמצאות בפרסומים שונים, אך שלשות עבור ערכים השווים ל-999, 1001 לא נמצאו בפרסומים ידועים.
שולחן 1
שלשות פיתגוריות של מחלקה "c-1"
אפשר לבדוק שכל השלשות מקיימות יחס (3). לפיכך, אחת המטרות שנקבעו הושגה. יחסים (9), (11), (13) שהתקבלו בסעיף הקודם מאפשרים ליצור קבוצה אינסופית של שלשות על ידי קביעת הפרמטר היחידי c, הצלע של הריבוע המוקטן. זו, כמובן, אפשרות בונה יותר מיחס (2), שלשימוש בה יש להגדיר באופן שרירותי שלושה מספרים l, m, n, בעלי ערך כלשהו, ואז לחפש פתרון, בידיעה רק שבסופו של דבר, משולש פיתגורי בהחלט יתקבל, ואיזה לא ידוע. במקרה שלנו, התצורה של הטריפל שנוצר ידועה מראש ויש להגדיר רק פרמטר אחד. אבל, אבוי, לא לכל ערך של פרמטר זה יש פתרון. ואתה צריך לדעת מראש את הערכים המותרים שלו. אז התוצאה טובה, אבל רחוקה מלהיות אידיאלית. רצוי להשיג פתרון כזה שניתן לחשב שלשות פיתגורס עבור כל מספר טבעי שניתן באופן שרירותי. לשם כך נחזור לשלב הרביעי - היווצרות מבנה היחסים המתמטיים שהושגו.
מכיוון שהבחירה בערך c כפרמטר הבסיסי לקביעת האיברים הנותרים בטריפל התבררה כלא נוחה, יש לנסות אפשרות אחרת. כפי שניתן לראות מהטבלה. 1, נראה שהבחירה בפרמטר a כבסיס אחד עדיפה, מכיוון שהערכים של פרמטר זה נמצאים בשורה בסדרה של מספרים טבעיים אי-זוגיים. לאחר טרנספורמציות פשוטות, אנו מביאים את היחסים (9) לצורה בונה יותר:
יחסים (14) מאפשרים לנו למצוא משולש פיתגורי לכל ערך אי זוגי שהוקצה מראש א. יחד עם זאת, הפשטות של הביטוי עבור b מאפשרת לבצע חישובים גם ללא מחשבון. ואכן, בחירה, למשל, במספר 13, נקבל:
ועבור המספר 99, בהתאמה, אנו מקבלים:
יחסים (15) מאפשרים לקבל את הערכים של כל שלושת האיברים של המחרוזת הפיתגורית עבור כל n נתון, החל מ-n=1.
עכשיו שקול את השלשות הפיתגוריות של המחלקה "c - 2". בשולחן. 2 מציג עשרה שלשות כאלה כדוגמה. יתרה מכך, רק שלושה זוגות של שלשות נמצאו בפרסומים ידועים - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ו-16, 63, 65. התברר שזה מספיק כדי לקבוע את הדפוסים שבאמצעותם הם נוצרים. שבעה הנותרים נמצאו מיחסים שנגזרו בעבר (11). לנוחות החישוב, היחסים הללו שונו כך שכל הפרמטרים באים לידי ביטוי במונחים של a. מ-(11) עולה כמובן שכל השלשות עבור המחלקה "c - 2" עומדות ביחסים הבאים:
שולחן 2
שלשות פיתגוריות של כיתה "c-2"
כפי שניתן לראות מהטבלה. 2, ניתן לחלק את כל קבוצת השלשות האינסופית של מחלקה "c - 2" לשתי תת מחלקות. עבור שלשות שבהן הערך של a מתחלק ב-4 ללא שארית, הערכים של b ו-c הם אי-זוגיים. שלשות כאלה, שעבורן GCD = 1, נקראות פרימיטיביות. עבור שלשות שערכם a אינם מתחלקים ב-4 במספרים שלמים, כל שלושת האיברים של השלשה a, b, c הם זוגיים.
כעת נעבור לסקור את תוצאות הניתוח של השלישית מהשיעורים שנבחרו - המחלקה "ג - 8". ליחסים המחושבים עבור מחלקה זו, המתקבלים מ-(13), יש את הצורה:
יחסים (20), (21) זהים במהותם. ההבדל הוא רק בבחירת רצף הפעולות. לחלופין, בהתאם ל-(20), הערך הרצוי של a נבחר (במקרה זה, ערך זה נדרש לחלק ב-4), ואז נקבעים הערכים של b ו-c. לחלופין, נבחר מספר שרירותי, ולאחר מכן, מתוך יחסים (21), נקבעים כל שלושת האיברים של המשולש הפיתגורי. בשולחן. 3 מציג מספר שלשות פיתגוריות המחושבות בצורה זו. עם זאת, חישוב ערכי השלשות של פיתגורס הוא אפילו קל יותר. אם ידוע לפחות ערך אחד, אז כל הערכים הבאים ייקבעו בצורה פשוטה מאוד על ידי מערכות היחסים הבאות:
שולחן 3
ניתן לאמת את תקפות הקשר (22) עבור כולם הן על ידי שלשות מטבלה. 2, וכן ממקורות אחרים. כדוגמה, בטבלה. 4 שלשות נטויות מהטבלה הנרחבת של שלשות פיתגורס (10,000 שלשות) המחושבות על בסיס תוכנת מחשב לפי יחס (2) וסוג מודגש - שלשות מחושבות לפי יחס (20). ערכים אלה לא היו בטבלה שצוינה.
טבלה 4
שלשות פיתגוריות של כיתה "s-8"
בהתאם לכך, עבור שלשות של הצורה, ניתן להשתמש ביחסים הבאים:
ולשלושה מהצורה<
יש להדגיש כי המחלקות הנ"ל של השלשות "ג - 1", "ג - 2", "ג - 8" מהוות יותר מ-90% מאלף השלשות הראשונות מהטבלה המובאת. זה נותן סיבה להתייחס לשיעורים אלה כבסיס. נוסיף כי בגזירת היחסים (22), (23), (24) לא נעשה שימוש בתכונות מיוחדות של מספרים הנלמדים בתורת המספרים (ראשוני, ראשוני וכו'). הסדירות שהתגלתה בהיווצרות השלשות הפיתגוריות נובעות רק מתכונות המערכת של הדמויות הגיאומטריות המתוארות על ידי השלשות הללו - ריבועים, המורכבים מקבוצה של ריבועים יחידה.
סיכום
עכשיו, כפי שאמר אנדרו ווילס ב-1993, "אני חושב שאני צריך לעצור שם." היעד שהוגדר הושג במלואו. הוכח כי ניתוח המאפיינים של מודלים מתמטיים, שמבנהם קשור לדמויות גיאומטריות, מפושט במידה רבה אם בתהליך הניתוח, יחד עם חישובים מתמטיים גרידא, המאפיינים הגיאומטריים של המודלים הנלמדים נלקח בחשבון. הפשטות מושגת, במיוחד, בשל העובדה שהחוקר "רואה" את התוצאות הרצויות מבלי לבצע טרנספורמציות מתמטיות.
למשל, שוויון
הופך ברור ללא טרנספורמציות בצד שמאל שלו, צריך רק להסתכל על התאנה. 1 עבור מודל גרפי של שוויון זה.
כתוצאה מכך, על בסיס הניתוח שבוצע, עולה כי עבור כל ריבוע עם צלע, ניתן למצוא ריבועים עם הצלעות b ו-c כך שמתקיים שוויון עבורם ומתקבלים יחסים המספקים תוצאות בכמות מינימלית. של חישובים:
עבור ערכים אי-זוגיים א,
וכן - לערכים זוגיים.
קישור ביבליוגרפי
Beskrovny I.M. ניתוח מערכת של המאפיינים של טריפלים פיתגוריים // טכנולוגיות מודרניות עתירות מדע. - 2013. - מס' 11. - עמ' 135-142;כתובת אתר: http://site/ru/article/view?id=33537 (תאריך גישה: 20/03/2020). אנו מביאים לידיעתכם את כתבי העת בהוצאת ההוצאה "האקדמיה להיסטוריה של הטבע"
לאחר מכן, נשקול את השיטות הידועות ליצירת שלשות פיתגוריות אפקטיביות. תלמידי פיתגורס היו הראשונים להמציא דרך פשוטה ליצור שלשות פיתגוריות, תוך שימוש בנוסחה שחלקיה מייצגים שלשה פיתגורית:
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,
איפה M- לא מזווג, M>2. בֶּאֱמֶת,
4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4
נוסחה דומה הוצעה על ידי הפילוסוף היווני הקדום אפלטון:
(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,
איפה M- כל מספר. ל M= 2,3,4,5 נוצרות השלשות הבאות:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
כפי שאתה יכול לראות, נוסחאות אלה אינן יכולות לתת את כל השלשות הפרימיטיביות האפשריות.
שקול את הפולינום הבא, המפורק לסכום של פולינומים:
(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .
מכאן הנוסחאות הבאות להשגת שלשות פרימיטיביות:
א = 2M +1 , ב = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , ג = 2M 2 + 2M + 1.
נוסחאות אלו יוצרות שלשות שבהן המספר הממוצע שונה מהגדול באחד בדיוק, כלומר, לא נוצרות גם כל השלשות האפשריות. כאן השלשות הראשונות הן: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
כדי לקבוע כיצד ליצור את כל השלשות הפרימיטיביות, יש לבחון את תכונותיהם. ראשית, אם ( א ב ג) הוא טריפל פרימיטיבי, אם כן או ב, בו ג, או ג- חייב להיות קופריים. תן או במחולקים ל ד. לאחר מכן א 2 + ב 2 מתחלק גם ב ד. בהתאמה, ג 2 ו גצריך להתחלק ל ד. כלומר, זה לא טריפל פרימיטיבי.
שנית, בין המספרים א, באחד חייב להיות מזווג והשני לא מזווג. אכן, אם או ב- מזווג, אם כך עםיוצמדו, וניתן לחלק את המספרים ב-2 לפחות. אם שניהם אינם מזווגים, ניתן לייצג אותם כ-2 ק+1 i 2 ל+1, איפה ק,ל- כמה מספרים. לאחר מכן א 2 + ב 2 = 4ק 2 +4ק+1+4ל 2 +4ל+1, כלומר, עם 2, כמו גם א 2 + בל-2 יש שארית של 2 כאשר מחלקים ב-4.
תן עם- כל מספר, כלומר עם = 4ק+אני (אני=0,…,3). לאחר מכן עם 2 = (4ק+אני) ל-2 יש שארית של 0 או 1 ולא יכולה להיות שארית של 2. לפיכך, או בלא ניתן לבטל התאמה, כלומר א 2 + ב 2 = 4ק 2 +4ק+4ל 2 +4ל+1 והשאר עם 2 על 4 צריך להיות 1, כלומר עםצריך להיות מנותק.
דרישות כאלה למרכיבי המשולש של פיתגורס מתקיימים על ידי המספרים הבאים:
א = 2מנ, ב = M 2 − נ 2 , ג = M 2 + נ 2 , M > נ, (2)
איפה Mו נהם משותפת עם זיווגים שונים. בפעם הראשונה, התלות הללו נודעו מעבודותיו של אוקלידס, שחי 2300 ר'. חזור.
הבה נוכיח את תקפותן של התלות (2). תן א- כפול, אם כך בו ג- לא מזווג. לאחר מכן ג + באני ג − ב- זוגות. הם יכולים להיות מיוצגים בתור ג + ב = 2uו ג − ב = 2v, איפה u,vהם כמה מספרים שלמים. בגלל זה
א 2 = עם 2 − ב 2 = (ג + ב)(ג − ב) = 2u 2 v = 4UV
ולכן ( א/2) 2 = UV.
ניתן להוכיח זאת בסתירה uו vהם קופריים. תן uו v- מחולקים ל ד. לאחר מכן ( ג + ב) ו ( ג − ב) מחולקים ל ד. ולכן גו בצריך להתחלק ל ד, וזה סותר את התנאי לטריפל הפיתגורי.
כי UV = (א/2) 2 ו uו vקופריים, קל להוכיח את זה uו vחייב להיות ריבועים של מספרים מסוימים.
אז יש מספרים שלמים חיוביים Mו נ, כך ש u = M 2 ו v = נ 2. לאחר מכן
א 2 = 4UV = 4M 2 נ 2 כך
א = 2מנ; ב = u − v = M 2 − נ 2 ; ג = u + v = M 2 + נ 2 .
כי ב> 0, אם כן M > נ.
נותר להראות זאת Mו נבעלי זיווגים שונים. אם Mו נ- מזווג, אם כך uו vחייבים להיות מזווגים, אבל זה בלתי אפשרי, מכיוון שהם קופריים. אם Mו נ- לא מזווג, אם כך ב = M 2 − נ 2 ו ג = M 2 + נ 2 יהיו מזווגים, וזה בלתי אפשרי כי גו בהם קופריים.
לפיכך, כל משולש פיתגורי פרימיטיבי חייב לעמוד בתנאים (2). במקביל, המספרים Mו נשקוראים לו יצירת מספריםשלישיות פרימיטיביות. לדוגמה, בוא נעשה משולש פיתגורי פרימיטיבי (120,119,169). במקרה הזה
א= 120 = 2 12 5, ב= 119 = 144 - 25, ו ג = 144+25=169,
איפה M = 12, נ= 5 - יצירת מספרים, 12 > 5; 12 ו-5 הם קופריים ומזיווגים שונים.
ניתן להוכיח כי המספרים M, ננוסחאות (2) נותנות משולש פיתגורי פרימיטיבי (a,b,c). בֶּאֱמֶת,
א 2 + ב 2 = (2מנ) 2 + (M 2 − נ 2) 2 = 4M 2 נ 2 + (M 4 − 2M 2 נ 2 + נ 4) =
= (M 4 + 2M 2 נ 2 + נ 4) = (M 2 + נ 2) 2 = ג 2 ,
זה ( א,ב,ג) הוא משולש פיתגורי. הבה נוכיח זאת תוך כדי א,ב,גהם מספרים ראשוניים על פי סתירה. תנו לחלק את המספרים הללו ב ע> 1. מאז Mו נאז יש זיווגים שונים בו ג- לא מזווג, כלומר ע≠ 2. מאז רמחלקים בו ג, לאחר מכן רחייב לחלק 2 M 2 ו-2 נ 2 , וזה בלתי אפשרי כי ע≠ 2. לכן M, נהם קופריים ו א,ב,גהם גם קופריים.
טבלה 1 מציגה את כל השלשות הפיתגוריות הפרימיטיביות שנוצרו על ידי נוסחאות (2) עבור M≤10.
טבלה 1. שלשות פיתגוריות פרימיטיביות עבור M≤10
| M | נ | א | ב | ג | M | נ | א | ב | ג |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
ניתוח של טבלה זו מראה את הנוכחות של סדרת הדפוסים הבאה:
- אוֹ א, או במחולקים ב-3;
- אחד המספרים א,ב,גמתחלק ב-5;
- מספר אמתחלק ב-4;
- עֲבוֹדָה א· במתחלק ב-12.
בשנת 1971, המתמטיקאים האמריקאים טייגן והדווין הציעו פרמטרים לא ידועים כל כך של משולש ישר זווית כמו גובהו (גובה) כדי ליצור שלישיות ח = ג- b ועודף (הצלחה) ה = א + ב − ג. באיור 1. הכמויות הללו מוצגות על משולש ישר זווית מסוים.
איור 1. משולש ישר וצמיחתו ועודף שלו
השם "עודף" נגזר מהעובדה שזהו המרחק הנוסף שיש לעבור לאורך רגלי המשולש מקודקוד אחד אל מולו, אם לא הולכים לאורך האלכסון שלו.
באמצעות עודף וצמיחה, ניתן לבטא את צלעות המשולש הפיתגורי כ:
ה 2 ה 2
א = ח + ה, ב = ה + ——, ג = ח + ה + ——, (3)
2ח 2ח
לא כל השילובים חו העשוי להתאים למשולשים פיתגוריים. על נתון חערכים אפשריים ההוא מכפלה של מספר כלשהו ד. המספר הזה דנקרא צמיחה ומתייחס חבצורה הבאה: דהוא המספר השלם החיובי הקטן ביותר שהריבוע שלו מתחלק ב-2 ח. כי המרובות ד, אז זה כתוב כ ה = kd, איפה קהוא מספר שלם חיובי.
בעזרת זוגות ( ק,ח) אתה יכול ליצור את כל המשולשים של פיתגורס, כולל לא פרימיטיביים והכללים, באופן הבא:
(dk) 2 (dk) 2
א = ח + dk, ב = dk + ——, ג = ח + dk + ——, (4)
2ח 2ח
יתר על כן, משולש הוא פרימיטיבי אם קו חהם קופריים ואם ח =± ש 2 בשעה ש- לא מזווג.
יתר על כן, זה יהיה בדיוק משולש פיתגורי אם ק> √2 ח/דו ח > 0.
למצוא קו חמ ( א,ב,ג) תעשה את הדברים הבאים:
- ח = ג − ב;
- לִרְשׁוֹם חאֵיך ח = pq 2, איפה ע> 0 וכאלה שאינה ריבוע;
- ד = 2pqאם ע- לא מזווג ו ד = pq, אם p מזווג;
- ק = (א − ח)/ד.
לדוגמה, עבור המשולש (8,15,17) יש לנו ח= 17-15 = 2 1, אז ע= 2 ו ש = 1, ד= 2, ו ק= (8 − 2)/2 = 3. אז השלשה הזו ניתנת בתור ( ק,ח) = (3,2).
לטריפל (459,1260,1341) יש לנו ח= 1341 − 1260 = 81, אז ע = 1, ש= 9 ו ד= 18, ומכאן ק= (459 − 81)/18 = 21, כך שהקוד של המשולש הזה הוא ( ק,ח) = (21, 81).
ציון שלשות עם חו קיש מספר מאפיינים מעניינים. פָּרָמֶטֶר קשווים
ק = 4ס/(dP), (5)
איפה ס = אב/2 הוא שטח המשולש, ו פ = א + ב + גהוא ההיקף שלו. זה נובע מהשוויון eP = 4ס, שמקורו במשפט פיתגורס.
למשולש ישר זווית השווה לקוטר המעגל החתום במשולש. זה נובע מהעובדה שהתחתון עם = (א − ר)+(ב − ר) = א + ב − 2ר, איפה רהוא רדיוס המעגל. מכאן ח = ג − ב = א − 2רו ה = א − ח = 2ר.
ל ח> 0 ו ק > 0, קהוא המספר הסידורי של השלשות א-ב-גברצף של משולשים פיתגוריים עם עלייה ח. מטבלה 2, המציגה מספר אפשרויות עבור שלישיות שנוצרו על ידי זוגות ח, ק, ניתן לראות שעם הגדלת קצלעות המשולש גדלות. לפיכך, בניגוד למספור הקלאסי, המספור בזוגות ח, קיש סדר גבוה יותר ברצפים של שלישיות.
טבלה 2. שלשות פיתגוריות שנוצרו על ידי זוגות h, k.
| ח | ק | א | ב | ג | ח | ק | א | ב | ג |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
ל ח > 0, דעונה על אי השוויון 2√ ח ≤ ד ≤ 2ח, שבו מגיעים לגבול התחתון ב ע= 1, והעליון, ב ש= 1. לכן, הערך דביחס ל-2√ חהוא מדד לכמה חרחוק מהריבוע של מספר כלשהו.
