பெலோடெலோவ் வி.ஏ. பித்தகோரியன் மும்மடங்கு மற்றும் அவற்றின் எண் // நெஸ்டெரோவ்ஸின் என்சைக்ளோபீடியா

இந்த கட்டுரை ஒரு பேராசிரியருக்கான பதில் - ஒரு பிஞ்சர். பேராசிரியர், எங்கள் கிராமத்தில் எப்படி செய்கிறார்கள் என்று பாருங்கள்.

நிஸ்னி நோவ்கோரோட் பகுதி, ஜாவோல்ஷியே.

Diophantine சமன்பாடுகளை (ADDE) தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின் அறிவு மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை முன்னேற்றங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை.

IF என்பது ஒரு முதன்மை எண்.

MF என்பது ஒரு கூட்டு எண்.

ஒற்றைப்படை எண் N இருக்கட்டும். ஒன்றைத் தவிர வேறு எந்த ஒற்றைப்படை எண்ணுக்கும், நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை எழுதலாம்.

ப 2 + N \u003d q 2,

இங்கு р + q = N, q – р = 1.

எடுத்துக்காட்டாக, 21 மற்றும் 23 எண்களுக்கு, சமன்பாடுகள், -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

N முதன்மையாக இருந்தால், இந்த சமன்பாடு தனித்துவமானது. எண் N என்பது கலவையாக இருந்தால், 1 x N உட்பட இந்த எண்ணைக் குறிக்கும் காரணிகளின் ஜோடிகளின் எண்ணிக்கைக்கு ஒத்த சமன்பாடுகளை உருவாக்க முடியும்.

N = 45 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம், -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

நான் கனவு கண்டேன்.

குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்;

கீழ் சமன்பாட்டை மாற்றுவோம், -

N \u003d இல் 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

உள்ள அளவுகோலின்படி N இன் மதிப்புகளை தொகுப்போம் - a, i.e. ஒரு அட்டவணை செய்வோம்.

N எண்கள் ஒரு அணியில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன, -

இந்தப் பணிக்காகத்தான் நான் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் அவற்றின் மெட்ரிக்குகளின் முன்னேற்றங்களைக் கையாள வேண்டியிருந்தது. எல்லாம் வீணாகிவிட்டன - பிசிஎச் பாதுகாப்பு சக்தி வாய்ந்தது. அட்டவணை 1 இல் ஒரு நெடுவரிசையை உள்ளிடுவோம், அதில் - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

மீண்டும் ஒருமுறை. IF மற்றும் MF ஐ அடையாளம் காணும் சிக்கலைத் தீர்க்கும் முயற்சியின் விளைவாக அட்டவணை 2 பெறப்பட்டது. எந்த எண் N க்கும், 2 இல் 2 + N \u003d வடிவத்தின் பல சமன்பாடுகள் உள்ளன, காரணி 1 x N உட்பட, N எண்ணை எத்தனை ஜோடி காரணிகளாகப் பிரிக்கலாம். கூடுதலாக எண்கள் N \u003d ℓ 2, எங்கே

ℓ - எஃப்சி. N = ℓ 2 க்கு, ℓ IF ஆக இருக்கும் இடத்தில், p 2 + N = q 2 என்ற தனித்துவமான சமன்பாடு உள்ளது. ஒன்று முதல் ∞ வரை N ஐ உருவாக்கும் ஜோடி காரணிகளில் இருந்து சிறிய காரணிகளை அட்டவணை பட்டியலிட்டால் என்ன கூடுதல் ஆதாரம் பற்றி பேசலாம். நாங்கள் அட்டவணை 2 ஐ ஒரு மார்பில் வைப்போம், மேலும் மார்பை ஒரு அலமாரியில் மறைப்போம்.

கட்டுரையின் தலைப்பில் கூறப்பட்டுள்ள தலைப்புக்கு வருவோம்.

இந்த கட்டுரை ஒரு பேராசிரியருக்கான பதில் - ஒரு பிஞ்சர்.

நான் உதவி கேட்டேன் - இணையத்தில் என்னால் கண்டுபிடிக்க முடியாத எண்களின் தொடர் தேவை. "எதற்கு?", "ஆனால் எனக்கு முறையைக் காட்டுங்கள்" போன்ற கேள்விகளை நான் எதிர்கொண்டேன். குறிப்பாக, பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் தொடர் எல்லையற்றதா, "எப்படி நிரூபிப்பது?" என்ற கேள்வி இருந்தது. அவர் எனக்கு உதவவில்லை. பேராசிரியர், எங்கள் கிராமத்தில் எப்படி செய்கிறார்கள் என்று பாருங்கள்.

பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் சூத்திரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (ஒன்று)

ARDU வழியாக செல்லலாம்.

மூன்று சூழ்நிலைகள் சாத்தியம்:

I. x என்பது ஒற்றைப்படை எண்,

y என்பது இரட்டை எண்

z என்பது இரட்டை எண்.

மேலும் x > y > z என்ற நிபந்தனை உள்ளது.

II. x என்பது ஒற்றைப்படை எண்

y என்பது இரட்டை எண்

z என்பது ஒற்றைப்படை எண்.

x > z > y.

III.x - ஒரு இரட்டை எண்,

y என்பது ஒற்றைப்படை எண்

z என்பது ஒற்றைப்படை எண்.

x > y > z.

ஐயில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம்.

புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்

சமன்பாட்டில் மாற்றவும் (1).

சிறிய மாறி 2γ மூலம் ரத்து செய்யலாம்.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

ஒரு புதிய அளவுருவின் ஒரே நேரத்தில் அறிமுகம் ƒ, - என்ற மாறி 2β – 2γஐ சிறியதாகக் குறைப்போம்.

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

பின்னர், 2α - 2β = x - y - 1.

சமன்பாடு (2) வடிவம் எடுக்கும், -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

அதை சதுரமாக்குவோம் -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU சமன்பாட்டின் மூத்த சொற்களுக்கு இடையிலான உறவை அளவுருக்கள் மூலம் வழங்குகிறது, எனவே சமன்பாடு (3) கிடைத்தது.

தீர்வுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதைக் கையாள்வது திடமானதல்ல. ஆனால், முதலில், எங்கும் செல்ல முடியாது, இரண்டாவதாக, இந்த தீர்வுகளில் பல தேவைப்படுகின்றன, மேலும் எண்ணற்ற தீர்வுகளை நாம் மீட்டெடுக்க முடியும்.

ƒ = 1, k = 1 க்கு, எங்களிடம் x – y = 1 உள்ளது.

ƒ = 12, k = 16 உடன், எங்களிடம் x - y = 9 உள்ளது.

ƒ = 4, k = 32 உடன், எங்களிடம் x - y = 25 உள்ளது.

நீங்கள் அதை நீண்ட நேரம் எடுக்கலாம், ஆனால் இறுதியில் தொடர் வடிவம் எடுக்கும் -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

விருப்பம் II ஐக் கவனியுங்கள்.

சமன்பாட்டில் புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துவோம் (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

நாம் ஒரு சிறிய மாறி 2 β ஆல் குறைக்கிறோம், -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

சிறிய மாறி 2α – 2β, – மூலம் குறைப்போம்

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (நான்கு)

2α - 2γ = x - z மற்றும் சமன்பாட்டில் மாற்றீடு (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 உடன், எங்களிடம் x - z = 2 உள்ளது.

ƒ = 8, k = 14 உடன், எங்களிடம் x - z = 8 உள்ளது.

ƒ = 3, k = 24 உடன், எங்களிடம் x - z = 18 உள்ளது.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

ஒரு ட்ரேப்சாய்டை வரைவோம் -

ஒரு ஃபார்முலா எழுதுவோம்.

எங்கே n=1, 2,...∞.

வழக்கு III விவரிக்கப்படாது - அங்கு தீர்வுகள் இல்லை.

நிபந்தனை II க்கு, மூன்று மடங்குகளின் தொகுப்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

சமன்பாடு (1) தெளிவுக்காக x 2 = z 2 + y 2 என வழங்கப்படுகிறது.

நிபந்தனை Iக்கு, மூன்று மடங்குகளின் தொகுப்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

மொத்தத்தில், 9 நெடுவரிசைகள் மூன்று மடங்காக வரையப்பட்டுள்ளன, ஒவ்வொன்றிலும் ஐந்து மூன்று மடங்குகள். மேலும் வழங்கப்பட்ட நெடுவரிசைகள் ஒவ்வொன்றும் ∞ வரை எழுதப்படலாம்.

உதாரணமாக, x - y \u003d 81 என்ற கடைசி நெடுவரிசையின் மூன்று மடங்குகளைக் கவனியுங்கள்.

x இன் மதிப்புகளுக்கு, நாம் ஒரு ட்ரெப்சாய்டை எழுதுகிறோம், -

சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

மதிப்புகளுக்கு நாம் ஒரு ட்ரெப்சாய்டை எழுதுகிறோம், -

சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

Z இன் மதிப்புகளுக்கு, நாம் ஒரு ட்ரேப்சாய்டை எழுதுகிறோம், -

சூத்திரத்தை எழுதுவோம்

எங்கே n = 1 ÷ ∞.

உறுதியளித்தபடி, x - y = 81 உடன் மும்மடங்குகளின் தொடர் ∞க்கு பறக்கிறது.

x, y, z க்கான மெட்ரிக்குகளை உருவாக்க I மற்றும் II வழக்குகளுக்கு ஒரு முயற்சி இருந்தது.

மேல் வரிசைகளிலிருந்து x இன் கடைசி ஐந்து நெடுவரிசைகளை எழுதி, ஒரு ட்ரேப்சாய்டை உருவாக்கவும்.

இது வேலை செய்யவில்லை, மற்றும் முறை இருபடி இருக்க வேண்டும். எல்லாவற்றையும் ஓப்பன்வொர்க்கில் செய்ய, I மற்றும் II நெடுவரிசைகளை இணைப்பது அவசியம் என்று மாறியது.

வழக்கு II இல், y, z அளவுகள் மீண்டும் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றப்படும்.

ஒரு காரணத்திற்காக நாங்கள் ஒன்றிணைக்க முடிந்தது - இந்த பணியில் அட்டைகள் நன்றாக பொருந்துகின்றன - நாங்கள் அதிர்ஷ்டசாலிகள்.

இப்போது நீங்கள் x, y, z க்கு மெட்ரிக்குகளை எழுதலாம்.

மேல் வரிசைகளிலிருந்து x மதிப்பின் கடைசி ஐந்து நெடுவரிசைகளிலிருந்து எடுத்து ஒரு ட்ரேப்சாய்டை உருவாக்குவோம்.

எல்லாம் நன்றாக இருக்கிறது, நீங்கள் மெட்ரிக்குகளை உருவாக்கலாம், மேலும் zக்கான மேட்ரிக்ஸுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

நான் ஒரு மார்புக்காக அலமாரிக்கு ஓடுகிறேன்.

மொத்தம்: ஒன்றுக்கு கூடுதலாக, எண் அச்சின் ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை எண்ணும் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் உருவாக்கத்தில் பங்கு கொள்கிறது, இந்த எண் N ஐ உருவாக்கும் காரணிகளின் சம எண்ணிக்கையிலான ஜோடிகளால், காரணி 1 x N உட்பட.

எண் N \u003d ℓ 2, அங்கு ℓ - IF, ஒரு பித்தகோரியன் மும்மடத்தை உருவாக்குகிறது, ℓ MF ஆக இருந்தால், ℓхℓ காரணிகளில் மும்மடங்கு இல்லை.

x, y க்கான மெட்ரிக்குகளை உருவாக்குவோம்.

xக்கான மேட்ரிக்ஸுடன் ஆரம்பிக்கலாம். இதைச் செய்ய, IF மற்றும் MF ஐ அடையாளம் காண்பதில் உள்ள சிக்கலில் இருந்து ஒருங்கிணைப்பு கட்டத்தை இழுப்போம்.

செங்குத்து வரிசைகளின் எண்ணிக்கை வெளிப்பாடு மூலம் இயல்பாக்கப்படுகிறது

முதல் நெடுவரிசையை அகற்றுவோம், ஏனெனில்

அணி வடிவம் எடுக்கும் -

செங்குத்து வரிசைகளை விவரிப்போம், -

குணகங்களை "a" இல் விவரிப்போம், -

இலவச உறுப்பினர்களை விவரிப்போம், -

"x"க்கான பொதுவான சூத்திரத்தை உருவாக்குவோம், -

"y" க்கு இதேபோன்ற வேலையைச் செய்தால், நமக்கு கிடைக்கும் -

இந்த முடிவை நீங்கள் மறுபக்கத்திலிருந்து அணுகலாம்.

சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்,

மற்றும் 2 + N = 2 இல்.

கொஞ்சம் மாற்றுவோம் -

N \u003d இல் 2 - a 2.

அதை சதுரமாக்குவோம் -

N 2 \u003d இல் 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில், அளவு 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d in 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

இறுதியாக -

(2 + a 2 இல்) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் பின்வருமாறு தொகுக்கப்பட்டுள்ளன:

N = 117 என்ற எண்ணுடன் ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

அட்டவணை 2 இன் செங்குத்து நெடுவரிசைகள் - a இன் மதிப்புகளுடன் எண்ணப்பட்டுள்ளன, அதே நேரத்தில் அட்டவணை 3 இன் செங்குத்து நெடுவரிசைகள் x - y மதிப்புகளுடன் எண்ணப்பட்டுள்ளன.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

காரணிகள் 3 மற்றும் 39 ஆகியவை ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்கள் அல்ல, எனவே ஒரு மூன்று மடங்கு 9 காரணியாக மாறியது.

மேலே எழுதப்பட்டவற்றை பொதுவான குறியீடுகளில் சித்தரிப்போம், -

இந்த வேலையில், எண்ணுடன் பித்தகோரியன் மும்மடங்கைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டு உட்பட அனைத்தும்

N = 117, சிறிய காரணியுடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது - a. + அ காரணி தொடர்பாக வெளிப்படையான பாகுபாடு. இந்த அநியாயத்தை சரி செய்வோம் - + a இன் காரணியுடன் மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

IF மற்றும் MF ஐ அடையாளம் காணும் கேள்விக்கு திரும்புவோம்.

இந்த திசையில் நிறைய விஷயங்கள் செய்யப்பட்டுள்ளன, இன்று பின்வரும் எண்ணம் கைகளில் வந்துவிட்டது - அடையாளச் சமன்பாடு இல்லை, காரணிகளைத் தீர்மானிப்பது போன்ற எதுவும் இல்லை.

F = a, b (N) உறவைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

ஒரு சூத்திரம் உள்ளது

உள்ளிருந்து F சூத்திரத்தில் இருந்து விடுபடலாம் மற்றும் a ஐப் பொறுத்தவரை nth டிகிரியின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள், அதாவது. F = a(N).

இந்த சமன்பாட்டின் எந்த டிகிரி n க்கும், m > n க்கு, m ஜோடி காரணிகளுடன் N எண் உள்ளது.

இதன் விளைவாக, பட்டம் n இன் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு m வேர்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

ஆம், இது இருக்க முடியாது.

இந்தத் தாளில், எண்கள் x 2 = y 2 + z 2 என்ற சமன்பாட்டிற்கு z இடத்தில் இருக்கும் போது எண்கள் கருதப்பட்டன. x இன் இடத்தில் N இருக்கும்போது, இது மற்றொரு பணியாகும்.

உண்மையுள்ள, பெலோடெலோவ் வி.ஏ.

பண்புகள்

சமன்பாடு இருந்து எக்ஸ் 2 + ஒய் 2 = z 2 ஒரே மாதிரியான, பெருக்கப்படும் போது எக்ஸ் , ஒய்மற்றும் zஅதே எண்ணுக்கு நீங்கள் மற்றொரு பித்தகோரியன் டிரிபிள் பெறுவீர்கள். பித்தகோரியன் ட்ரிபிள் என்று அழைக்கப்படுகிறது பழமையான, இந்த வழியில் பெற முடியவில்லை என்றால், அதாவது - ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

சில பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் (அதிகபட்ச எண்ணின் ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்டவை, பழமையானவை முன்னிலைப்படுத்தப்படுகின்றன):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

கதை

பித்தகோரியன் மும்மடங்கு மிக நீண்ட காலமாக அறியப்படுகிறது. பண்டைய மெசபடோமிய கல்லறைகளின் கட்டிடக்கலையில், 9, 12 மற்றும் 15 முழ பக்கங்களைக் கொண்ட இரண்டு செவ்வக வடிவங்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணம் காணப்படுகிறது. பார்வோன் ஸ்னெஃப்ருவின் (கிமு XXVII நூற்றாண்டு) பிரமிடுகள் 20, 21 மற்றும் 29 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி கட்டப்பட்டன, அத்துடன் 18, 24 மற்றும் 30 பத்து எகிப்திய முழங்கள்.

X அனைத்து ரஷ்ய சிம்போசியம் பயன்பாட்டு மற்றும் தொழில்துறை கணிதம். செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க், மே 19, 2009

அறிக்கை: Diophantine சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.

தாள் Diophantine சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் முறையைக் கருதுகிறது மற்றும் இந்த முறையால் தீர்க்கப்பட்ட தீர்வுகளை முன்வைக்கிறது: - Fermat இன் சிறந்த தேற்றம்; - பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் போன்றவற்றைத் தேடுங்கள். http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

இணைப்புகள்

ஈ. ஏ. கோரின்பித்தகோரியன் மும்மடங்கில் பகா எண்களின் சக்திகள் // கணிதக் கல்வி. - 2008. - வி. 12. - எஸ். 105-125.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010 .

பிற அகராதிகளில் "பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்:

கணிதத்தில், பித்தகோரியன் எண்கள் (பித்தகோரியன் டிரிபிள்) என்பது பித்தகோரியன் உறவை திருப்திப்படுத்தும் மூன்று முழு எண்களின் டூப்பிள் ஆகும்: x2 + y2 = z2. பொருளடக்கம் 1 பண்புகள் ... விக்கிபீடியா

இயற்கை எண்களின் மும்மடங்குகள், அதாவது இந்த எண்களுக்கு விகிதாசாரமாக (அல்லது சமமாக) பக்க நீளம் இருக்கும் முக்கோணம், எ.கா. மூன்று எண்கள்: 3, 4, 5... பெரிய கலைக்களஞ்சிய அகராதி

இயற்கை எண்களின் மும்மடங்குகள், அதாவது இந்த எண்களுக்கு விகிதாசாரமாக (அல்லது சமமாக) பக்க நீளம் கொண்ட முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். தேற்றத்தின்படி, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் தலைகீழ் (பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பார்க்கவும்), இதற்கு அவர்கள் ... ... கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா

நேர்மறை முழு எண்களின் மும்மடங்குகள் x, y, z x2+y 2=z2 சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளும், அதன் விளைவாக, அனைத்து P. p., x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 சூத்திரங்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் a, b தன்னிச்சையான நேர்மறை முழு எண்கள் (a>b). பி. எச்... கணித கலைக்களஞ்சியம்

ஒரு முக்கோணம், இந்த எண்களுக்கு விகிதாசாரமாக (அல்லது சமமாக) இருக்கும் பக்கங்களின் நீளம், எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வக வடிவில் இருக்கும் இயற்கை எண்களின் மும்மடங்குகள். மூன்று எண்கள்: 3, 4, 5... இயற்கை அறிவியல். கலைக்களஞ்சிய அகராதி

இயற்கை எண்களின் மும்மடங்குகள், அதாவது பக்க நீளம் இந்த எண்களுக்கு விகிதாசாரமாக (அல்லது சமமாக) இருக்கும் ஒரு முக்கோணம் செவ்வகமானது, எடுத்துக்காட்டாக, எண்களின் மூன்று மடங்கு: 3, 4, 5. * * * பைதாகோரன் எண்கள் பைத்தகோரன் எண்கள், இயற்கை எண்களின் மூன்று மடங்கு அந்த ... ... கலைக்களஞ்சிய அகராதி

கணிதத்தில், பித்தகோரியன் டிரிபிள் என்பது பித்தகோரியன் உறவை திருப்திப்படுத்தும் மூன்று இயற்கை எண்களின் டூப்பிள் ஆகும். பொருளடக்கம் 1 ப்ரிமிட்டிவ் டிரிபிள்ஸ் ... விக்கிபீடியா

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும், இது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவை நிறுவுகிறது. உள்ளடக்கம் 1 ... விக்கிபீடியா

பித்தகோரியன் தேற்றம் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளில் ஒன்றாகும், இது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையிலான உறவை நிறுவுகிறது. பொருளடக்கம் 1 அறிக்கைகள் 2 சான்றுகள் ... விக்கிபீடியா

இது P ஒரு முழு எண் சார்பு (உதாரணமாக, முழு எண் குணகங்களுடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை) வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், மேலும் மாறிகள் முழு எண் மதிப்புகளை எடுக்கும். பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் Diophantus பெயரிடப்பட்டது. உள்ளடக்கம் 1 எடுத்துக்காட்டுகள் ... விக்கிபீடியா

பித்தகோரியன் மூன்று மடங்குகளில் முதன்மை எண்கள். பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள்

இயற்கை எண்களின் பண்புகள் பற்றிய ஆய்வு, பித்தகோரியர்களை தத்துவார்த்த எண்கணிதத்தின் (எண் கோட்பாடு) மற்றொரு "நித்திய" சிக்கலுக்கு இட்டுச் சென்றது - பண்டைய எகிப்து மற்றும் பண்டைய பாபிலோனில் உள்ள பித்தகோரஸுக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே கிருமிகள் தோன்றிய ஒரு பிரச்சனை, மேலும் ஒரு பொதுவான தீர்வு காணப்படவில்லை. இந்த நாள் வரைக்கும். சிக்கலுடன் தொடங்குவோம், இது நவீன சொற்களில் பின்வருமாறு உருவாக்கப்படலாம்: இயற்கை எண்களில் காலவரையற்ற சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இன்று இந்த பணி அழைக்கப்படுகிறது பித்தகோரஸின் பிரச்சனை, மற்றும் அதன் தீர்வுகள் - இயற்கை எண்களின் மூன்று மடங்கு திருப்திகரமான சமன்பாடு (1.2.1) - அழைக்கப்படுகின்றன பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள். பித்தகோரியன் பிரச்சனையுடன் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வெளிப்படையான தொடர்பு காரணமாக, பிந்தையது ஒரு வடிவியல் உருவாக்கம் கொடுக்கப்படலாம்: முழு எண் கால்களுடன் அனைத்து வலது முக்கோணங்களையும் கண்டறியவும். எக்ஸ், ஒய்மற்றும் முழு எண் ஹைப்போடென்யூஸ் z.

பித்தகோரியன் பிரச்சினையின் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் பண்டைய காலங்களில் அறியப்பட்டன. பெர்லினில் உள்ள எகிப்திய அருங்காட்சியகத்தில் சேமித்து வைக்கப்பட்டிருந்த பார்வோன் அமெனெம்ஹெட் I (கி.மு. 2000) காலத்தைச் சேர்ந்த ஒரு பாப்பிரஸ்ஸில், விகித விகிதத்துடன் () ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் காண்கிறோம். கணிதத்தின் மிகப்பெரிய ஜெர்மன் வரலாற்றாசிரியரான எம். கான்டரின் (1829 - 1920) படி, பண்டைய எகிப்தில் ஒரு சிறப்புத் தொழில் இருந்தது. ஹார்பிடோனாப்ட்ஸ்- "கயிறு டென்ஷனர்கள்", கோவில்கள் மற்றும் பிரமிடுகளை இடும் விழாவின் போது, 12 (= 3 + 4 + 5) சம இடைவெளி முடிச்சுகளைக் கொண்ட கயிற்றால் வலது கோணங்களைக் குறித்தனர். ஹார்பிடோனாப்ட்களைக் கொண்டு செங்கோணத்தை உருவாக்கும் முறை படம் 36ல் தெளிவாகத் தெரிகிறது.

பண்டைய எகிப்திய கட்டிடக்கலையின் விகிதாச்சாரங்கள் கேண்டருக்கு ஆதரவாக சாட்சியமளித்தாலும், பண்டைய கணிதத்தின் மற்றொரு அறிவாளியான வான் டெர் வேர்டன், கேண்டருடன் திட்டவட்டமாக உடன்படவில்லை என்று சொல்ல வேண்டும். அது எப்படியிருந்தாலும், இன்று ஒரு விகித விகிதத்துடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் அழைக்கப்படுகிறது எகிப்தியன்.

P இல் குறிப்பிட்டுள்ளபடி. 76, பண்டைய பாபிலோனிய சகாப்தத்திற்கு முந்தைய ஒரு களிமண் மாத்திரை மற்றும் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் 15 வரிகளைக் கொண்டுள்ளது. 15 (45, 60, 75) ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் எகிப்தியனிடமிருந்து (3, 4, 5) பெறப்பட்ட அற்பமான மும்மடங்கைத் தவிர, (3367, 3456, 4825) மற்றும் (12709) போன்ற மிகவும் சிக்கலான பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளும் உள்ளன. , 13500, 18541)! இந்த எண்கள் எளிய கணக்கீடு மூலம் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை, ஆனால் சில சீரான விதிகளால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதில் சந்தேகமில்லை.

ஆயினும்கூட, இயற்கை எண்களில் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (1.2.1) பற்றிய கேள்வி பித்தகோரியன்களால் மட்டுமே எழுப்பப்பட்டது மற்றும் தீர்க்கப்பட்டது. எந்தவொரு கணித சிக்கலின் பொதுவான உருவாக்கம் பண்டைய எகிப்தியர்கள் மற்றும் பண்டைய பாபிலோனியர்களுக்கு அந்நியமாக இருந்தது. பித்தகோரஸுடன் மட்டுமே துப்பறியும் அறிவியலாக கணிதத்தின் உருவாக்கம் தொடங்குகிறது, மேலும் இந்த பாதையில் முதல் படிகளில் ஒன்று பித்தகோரியன் மும்மடங்கு பிரச்சினையின் தீர்வாகும். பண்டைய பாரம்பரியம் சமன்பாட்டின் முதல் தீர்வுகளை (1.2.1) பித்தகோரஸ் மற்றும் பிளேட்டோவின் பெயர்களுடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. இந்த தீர்வுகளை மீண்டும் உருவாக்க முயற்சிப்போம்.

பித்தகோரஸ் சமன்பாட்டை (1.2.1) ஒரு பகுப்பாய்வு வடிவத்தில் அல்ல, ஆனால் ஒரு சதுர எண்ணின் வடிவத்தில் நினைத்தார் என்பது தெளிவாகிறது, அதற்குள் சதுர எண்கள் மற்றும் . ஒரு பக்கத்துடன் ஒரு சதுர வடிவில் எண்ணைக் குறிப்பிடுவது இயற்கையானது ஒய்ஒரு குறைவான பக்கம் zஅசல் சதுரம், அதாவது. பின்னர், படம் 37 இலிருந்து பார்ப்பது எளிது (பார்க்க!), மீதமுள்ள சதுர எண்ணுக்கு, சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வாறு, நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை அடைகிறோம்

இந்த சமன்பாடுகளைக் கூட்டி கழித்தால், சமன்பாட்டின் தீர்வைக் காணலாம் (1.2.1):

இதன் விளைவாக வரும் தீர்வு ஒற்றைப்படைக்கு மட்டுமே இயற்கை எண்களைக் கொடுப்பதை எளிதாகக் காணலாம். இவ்வாறு, நாம் இறுதியாக

பாரம்பரியம் இந்த முடிவை பித்தகோரஸின் பெயருடன் இணைக்கிறது.

அமைப்பு (1.2.2) சமன்பாட்டிலிருந்து (1.2.1) முறைப்படியும் பெறலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. உண்மையில்,

எங்கிருந்து, அனுமானித்து, நாம் (1.2.2) வருகிறோம்.

பித்தகோரியன் கரைசல் ஒரு கடினமான தடையின் கீழ் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது () மற்றும் அனைத்து பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. அடுத்த கட்டம் , பின்னர் , இந்த விஷயத்தில் மட்டுமே ஒரு சதுர எண்ணாக இருக்கும். எனவே எழும் அமைப்பும் பித்தகோரியன் மும்மடங்காக இருக்கும். இப்போது முக்கிய

தேற்றம்.ஒரு என்றால் பமற்றும் கேவெவ்வேறு சமநிலையின் முதன்மை எண்கள், பின்னர் அனைத்து பழமையான பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் சூத்திரங்களால் கண்டறியப்படுகின்றன

பெஸ்க்ரோவ்னி ஐ.எம். ஒன்று

1 OAO Angstrem-M

A2+b2=c2 வடிவத்தின் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் மற்றும் வழிமுறைகளை உருவாக்குவதே பணியின் நோக்கமாகும். பகுப்பாய்வு செயல்முறை ஒரு முறையான அணுகுமுறையின் கொள்கைகளின்படி மேற்கொள்ளப்பட்டது. கணித மாதிரிகளுடன், வரைகலை மாதிரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை பித்தகோரியன் ட்ரிப்லின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரையும் கலப்பு சதுரங்களின் வடிவத்தில் காண்பிக்கும், அவை ஒவ்வொன்றும் அலகு சதுரங்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும். பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் முடிவிலா தொகுப்பானது b-c மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டால் வேறுபடுத்தும் எண்ணற்ற துணைக்குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது. இந்த வேறுபாட்டின் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட மதிப்புடன் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை உருவாக்குவதற்கான ஒரு வழிமுறை முன்மொழியப்பட்டது. 3≤a எந்த மதிப்புக்கும் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் இருப்பதாகக் காட்டப்படுகிறது

பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள்

அமைப்பு பகுப்பாய்வு

கணித மாதிரி

கிராஃபிக் மாதிரி

1. அனோசோவ் டி.என். கணிதம் மற்றும் அதிலிருந்து ஏதாவது ஒரு பார்வை. - எம்.: எம்டிஎஸ்என்எம்ஓ, 2003. - 24 பக்.: நோய்.

2. அயர்லாண்ட் கே., ரோசன் எம். நவீன எண் கோட்பாட்டிற்கான கிளாசிக்கல் அறிமுகம். - எம்.: மிர், 1987.

3. பெஸ்க்ரோவ்னி ஐ.எம். அமைப்புகளில் கணினி பகுப்பாய்வு மற்றும் தகவல் தொழில்நுட்பம்: பாடநூல். - எம்.: RUDN, 2012. - 392 பக்.

4. சைமன் சிங். ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம்.

5. ஃபெர்மா பி. எண் கோட்பாடு மற்றும் டியோபான்டைன் பகுப்பாய்வு. – எம்.: நௌகா, 1992.

6. யாப்ட்ரோ. Ucoz, இங்கு கிடைக்கிறது: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

பித்தகோரியன் மும்மடங்கு என்பது பித்தகோரியன் உறவை x2 + y2 = z2 ஐ திருப்திப்படுத்தும் மூன்று முழு எண்களின் கூட்டாகும். பொதுவாக, இது Diophantine சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, அதாவது, அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கை சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட அதிகமாக இருக்கும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். அவர்கள் நீண்ட காலமாக, பாபிலோனின் காலத்திலிருந்தே, அதாவது பித்தகோரஸுக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே அறியப்பட்டுள்ளனர். பித்தகோரஸ் தனது புகழ்பெற்ற தேற்றத்தை அவர்களின் அடிப்படையில் நிரூபித்த பின்னர் அவர்கள் பெயரைப் பெற்றனர். எவ்வாறாயினும், பித்தகோரியன் மும்மடங்கு பற்றிய கேள்வி ஒரு வழியில் அல்லது இன்னொரு வகையில் தொட்ட பல ஆதாரங்களின் பகுப்பாய்விலிருந்து பின்வருமாறு, இந்த மும்மடங்குகளின் தற்போதைய வகுப்புகள் மற்றும் அவை உருவாக்குவதற்கான சாத்தியமான வழிகள் பற்றிய கேள்வி இன்னும் முழுமையாக வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.

எனவே சைமன் சிங்கின் புத்தகத்தில் அது கூறுகிறது: - "பித்தகோரஸின் சீடர்கள் மற்றும் பின்பற்றுபவர்கள் ... பித்தகோரியன் மூன்று கே என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடிக்கும் ரகசியத்தை உலகிற்குச் சொன்னார்கள்." இருப்பினும், இதைத் தொடர்ந்து நாம் படிக்கிறோம்: - “பித்தகோரியர்கள் மற்ற பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள், பிற சதுரங்களைக் கண்டுபிடிப்பதைக் கனவு கண்டார்கள், அதில் இருந்து மூன்றாவது பெரிய சதுரத்தைச் சேர்க்க முடியும். …எண்கள் அதிகரிக்கும் போது, பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் அரிதாகி வருகின்றன, மேலும் கடினமாகவும் கண்டுபிடிக்க கடினமாகவும் உள்ளன. பித்தகோரியர்கள் அத்தகைய மும்மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு முறையைக் கண்டுபிடித்தனர், அதைப் பயன்படுத்தி, எண்ணற்ற பித்தகோரியன் மும்மூர்த்திகள் இருப்பதை நிரூபித்தார்கள்.

குழப்பத்தை ஏற்படுத்தும் வார்த்தைகள் மேற்கோளில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஏன் "பித்தகோரியர்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று கனவு கண்டார்கள் ..." அவர்கள் "அத்தகைய மும்மடங்குகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு முறையைக் கண்டுபிடித்திருந்தால் ...", மற்றும் ஏன் அதிக எண்ணிக்கையில் "அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது மேலும் மேலும் கடினமாகிறது ...".

பிரபல கணிதவியலாளர் டி.வி. அனோசோவ், விரும்பிய பதில் கொடுக்கப்பட்டதாகத் தெரிகிறது. - “இயற்கை (அதாவது நேர்மறை முழு எண்) எண்கள் x, y, z போன்ற மூன்று மடங்குகள் உள்ளன

x2 + y2 = z2. (ஒன்று)

x2+y2=z2 சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளையும் இயற்கை எண்களில் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? …ஆம். பதில் என்னவென்றால், அத்தகைய ஒவ்வொரு தீர்வையும் இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

இங்கு l, m, n ஆகியவை இயற்கை எண்கள், மற்றும் m>n அல்லது x மற்றும் y ஆகியவை ஒன்றோடொன்று மாற்றப்படும் அதே வடிவத்தில். x, y, z இலிருந்து (2) இலிருந்து அனைத்து சாத்தியமான இயற்கையான l மற்றும் m > n ஆகியவை (1) x மற்றும் y இன் வரிசைமாற்றம் வரை சாத்தியமான தீர்வுகள் என்று நாம் இன்னும் கொஞ்சம் சுருக்கமாகக் கூறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று (3, 4, 5) l=1, m=2, n=1 உடன் பெறப்படுகிறது. ... வெளிப்படையாக, பாபிலோனியர்களுக்கு இந்த பதில் தெரியும், ஆனால் அவர்கள் அதை எப்படி அடைந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை.

பொதுவாக கணிதவியலாளர்கள் அவர்களின் சூத்திரங்களின் கடுமைத்தன்மைக்கு பெயர் பெற்றவர்கள். ஆனால், இந்த மேற்கோளில், அத்தகைய கடுமை கவனிக்கப்படவில்லை. எனவே சரியாக என்ன: கண்டுபிடிக்க அல்லது கற்பனை? வெளிப்படையாக, இவை முற்றிலும் வேறுபட்ட விஷயங்கள். இங்கே "புதிதாக சுடப்பட்ட" மும்மடங்குகளின் வரி (கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறை மூலம் பெறப்பட்டது):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

இந்த மும்மடங்குகள் ஒவ்வொன்றும் தொடர்பு (2) வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதில் சந்தேகமில்லை, பின்னர் l, m, n ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடலாம். ஆனால், இது மும்மடங்குகளின் அனைத்து மதிப்புகளும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு. ஆனால் அதற்கு முன் என்ன?

இந்த கேள்விகளுக்கான பதில்கள் நீண்ட காலமாக அறியப்பட்டவை என்பதை நிராகரிக்க முடியாது. ஆனால் சில காரணங்களால், அவர்கள் இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. எனவே, இந்த வேலையின் நோக்கம் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளின் முழுமையான பகுப்பாய்வு, மும்மடங்குகளின் பல்வேறு குழுக்களில் அமைப்பு-உருவாக்கும் உறவுகளுக்கான தேடல் மற்றும் இந்த குழுக்களின் சிறப்பியல்பு அம்சங்களை அடையாளம் காண்பது, பின்னர் எளிமையான வளர்ச்சி. முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட உள்ளமைவுடன் மூன்று மடங்குகளைக் கணக்கிடுவதற்கான திறமையான வழிமுறைகள். உள்ளமைவு என்பதன் மூலம், மும்மடங்கை உருவாக்கும் அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவைக் குறிக்கிறோம்.

ஒரு கருவித்தொகுப்பாக, உயர்நிலைப் பள்ளியில் கற்பிக்கப்படும் கணிதத்தின் கட்டமைப்பிற்கு அப்பால் செல்லாத மட்டத்தில் ஒரு கணிதக் கருவி பயன்படுத்தப்படும், மேலும் கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள முறைகளின் அடிப்படையில் கணினி பகுப்பாய்வு.

மாதிரி கட்டிடம்

கணினி பகுப்பாய்வின் நிலைப்பாட்டில் இருந்து, எந்தவொரு பித்தகோரியன் மும்மடங்கு என்பது மூன்று எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு அமைப்பு ஆகும். அவற்றின் முழுமை, இதில் பொருள்கள் சில உறவுகளில் வைக்கப்பட்டு புதிய பண்புகளைக் கொண்ட ஒரு அமைப்பை உருவாக்குகின்றன, அவை தனிப்பட்ட பொருள்கள் அல்லது அவற்றின் மொத்தத்தில் உள்ள வேறு எந்த பொருளிலும் இல்லை, அங்கு பொருள்கள் மற்ற உறவுகளில் வைக்கப்படுகின்றன.

சமன்பாட்டில் (1), கணினியின் பொருள்கள் எளிய இயற்கணித உறவுகளால் தொடர்புடைய இயற்கை எண்கள்: சம அடையாளத்தின் இடதுபுறத்தில் 2 இன் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை, வலதுபுறம் மூன்றாவது எண், மேலும் உயர்த்தப்பட்டது. 2 இன் சக்திக்கு. தனிப்பட்ட எண்கள், சமத்துவத்தின் இடதுபுறம், 2 இன் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் செயல்பாட்டில் எந்த கட்டுப்பாடுகளையும் விதிக்க வேண்டாம் - இதன் விளைவாக வரும் தொகை எதுவும் இருக்கலாம். ஆனால், கூட்டுச் செயல்பாட்டிற்குப் பிறகு வைக்கப்படும் சம அடையாளம், இந்தத் தொகையின் மதிப்பின் மீது கணினிக் கட்டுப்பாட்டை விதிக்கிறது: வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாட்டின் விளைவாக ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் வகையில் கூட்டுத்தொகை ஒரு எண்ணாக இருக்க வேண்டும். சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் மாற்றப்பட்ட எந்த எண்களுக்கும் இந்த நிபந்தனை திருப்தி அளிக்காது. இவ்வாறு, சமன்பாட்டின் இரண்டு சொற்களுக்கும் மூன்றாவது ஒன்றுக்கும் இடையில் வைக்கப்படும் சம அடையாளம் மூன்று சொற்களை ஒரு அமைப்பாக மாற்றுகிறது. இந்த அமைப்பின் புதிய அம்சம் அசல் எண்களின் மதிப்புகள் மீதான கட்டுப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துவதாகும்.

எழுத்து வடிவத்தின் அடிப்படையில், பித்தகோரியன் டிரிபிள் என்பது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, கூட்டுத்தொகை மற்றும் சமத்துவ உறவுகளால் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்ட மூன்று சதுரங்களைக் கொண்ட வடிவியல் அமைப்பின் கணித மாதிரியாகக் கருதப்படலாம். 1. படம். 1 என்பது பரிசீலனையில் உள்ள அமைப்பின் வரைகலை மாதிரியாகும், மேலும் அதன் வாய்மொழி மாதிரி அறிக்கை:

பக்க நீளம் c கொண்ட ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவை எஞ்சியாமல் a மற்றும் b பக்க நீளம் கொண்ட இரண்டு சதுரங்களாகப் பிரிக்கலாம், அதாவது அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை அசல் சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது மூன்று அளவுகள் a, b மற்றும் c ஆகியவை உறவால் தொடர்புடையவை

ஒரு சதுரத்தின் சிதைவின் வரைகலை மாதிரி

கணினி பகுப்பாய்வின் நியதிகளின் கட்டமைப்பிற்குள், ஒரு கணித மாதிரி ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் அமைப்பின் பண்புகளை போதுமான அளவு பிரதிபலிக்கிறது என்றால், இந்த அமைப்பின் பண்புகளின் பகுப்பாய்வு அதன் கணித மாதிரியின் பண்புகளை தெளிவுபடுத்த அனுமதிக்கிறது. அவற்றை ஆழமாக அறிந்து, தெளிவுபடுத்தவும், தேவைப்பட்டால் மேம்படுத்தவும். இதுதான் நாம் பின்பற்றும் பாதை.

கணினி பகுப்பாய்வின் கொள்கைகளின்படி, கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளை கலப்பு பொருள்களில் மட்டுமே செய்ய முடியும் என்பதை தெளிவுபடுத்துவோம், அதாவது அடிப்படை பொருட்களின் தொகுப்பால் ஆன பொருள்கள் எனவே, எந்தவொரு சதுரத்தையும் அடிப்படை அல்லது அலகு சதுரங்களின் தொகுப்பால் ஆன ஒரு உருவமாக நாம் உணர்வோம். பின்னர் இயற்கை எண்களில் ஒரு தீர்வைப் பெறுவதற்கான நிபந்தனை அலகு சதுரம் பிரிக்க முடியாதது என்ற நிபந்தனையை ஏற்றுக்கொள்வதற்கு சமம்.

ஒரு அலகு சதுரம் என்பது ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு சதுரம். அதாவது, ஒரு அலகு சதுரத்தின் பரப்பளவு பின்வரும் வெளிப்பாட்டைத் தீர்மானிக்கும் போது.

ஒரு சதுரத்தின் அளவு அளவுரு அதன் பரப்பளவு ஆகும், இது கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் வைக்கக்கூடிய அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. x இன் தன்னிச்சையான மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்திற்கு, x2 என்ற வெளிப்பாடு நீளம் x அலகு பிரிவுகளின் பிரிவுகளால் உருவாக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பகுதியை தீர்மானிக்கிறது. இந்த சதுரத்தின் பரப்பளவில் x2 அலகு சதுரங்களை வைக்கலாம்.

மேலே உள்ள வரையறைகள் அற்பமானவை மற்றும் வெளிப்படையானவை என்று கருதப்படலாம், ஆனால் அவை இல்லை. டி.என். அனோசோவ் பகுதியின் கருத்தை வேறுவிதமாக வரையறுக்கிறார்: - "... ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். இது அப்படி என்று நாம் ஏன் உறுதியாக இருக்கிறோம்? ... சில வகையான ஒரே மாதிரியான பொருட்களால் செய்யப்பட்ட ஒரு உருவத்தை நாங்கள் கற்பனை செய்கிறோம், அதன் பரப்பளவு அதில் உள்ள பொருளின் அளவிற்கு விகிதாசாரமாகும் - அதன் நிறை. ஒரு உடலைப் பல பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது, அவற்றின் நிறைகளின் கூட்டுத்தொகையானது அசல் உடலின் நிறைக்குச் சமம் என்பது மேலும் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது, ஏனென்றால் எல்லாமே அணுக்கள் மற்றும் மூலக்கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அவற்றின் எண்ணிக்கை மாறாததால், அவற்றின் மொத்த நிறை மாறவில்லை ... எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரே மாதிரியான பொருளின் நிறை அதன் தொகுதிக்கு விகிதாசாரமாகும்; எனவே, கொடுக்கப்பட்ட உருவத்தின் வடிவத்தைக் கொண்ட "தாளின்" அளவு அதன் பகுதிக்கு விகிதாசாரமாகும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு வார்த்தையில், ... ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு அதன் பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், வடிவவியலில் இதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம். ... Kiselev இன் பாடப்புத்தகத்தில், நாம் இப்போது விவாதிக்கும் சொத்துக்களைக் கொண்ட ஒரு பகுதியின் இருப்பு ஒருவித அனுமானமாக நேர்மையாக முன்வைக்கப்பட்டது, இது உண்மையில் உண்மை என்று கூறப்பட்டது, ஆனால் இதை நாங்கள் நிரூபிக்க மாட்டோம். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம், பகுதிகளுடன் நிரூபிக்கப்பட்டால், முற்றிலும் தர்க்கரீதியான அர்த்தத்தில், முழுமையாக நிரூபிக்கப்படாமல் இருக்கும்.

மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அலகு சதுரத்தின் வரையறைகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட D.N ஐ அகற்றுவதாக நமக்குத் தோன்றுகிறது. அனோசோவ் நிச்சயமற்ற தன்மை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு சதுரம் மற்றும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அவற்றை நிரப்பும் அலகு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையால் தீர்மானிக்கப்பட்டால், செவ்வகத்தை தன்னிச்சையான அடுத்தடுத்த பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது, செவ்வகத்தின் பரப்பளவு இயற்கையாகவே சமமாக இருக்கும். அதன் அனைத்து பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை.

மேலும், அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வரையறைகள் சுருக்க வடிவியல் புள்ளிவிவரங்கள் தொடர்பாக "வகுத்தல்" மற்றும் "சேர்" ஆகிய கருத்துகளைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மையை நீக்குகின்றன. உண்மையில், ஒரு செவ்வகத்தை அல்லது வேறு எந்த தட்டையான உருவத்தையும் பகுதிகளாகப் பிரிப்பதன் அர்த்தம் என்ன? அது ஒரு தாளாக இருந்தால், அதை கத்தரிக்கோலால் வெட்டலாம். நிலம் என்றால் - வேலி போடுங்கள். அறை - ஒரு பகிர்வை வைக்கவும். அது வரையப்பட்ட சதுரமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? ஒரு பிரிக்கும் கோட்டை வரைந்து, சதுரம் பிரிக்கப்பட்டதாக அறிவிக்கவா? ஆனால், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, டி.ஐ. மெண்டலீவ்: "... நீங்கள் எல்லாவற்றையும் அறிவிக்கலாம், ஆனால் நீங்கள் - மேலே செல்லுங்கள், நிரூபிக்கவும்!"

முன்மொழியப்பட்ட வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி, "ஒரு உருவத்தைப் பிரித்தல்" என்பது இந்த உருவத்தை இரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) பகுதிகளாக நிரப்பும் அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கையைப் பிரிப்பதாகும். இந்த ஒவ்வொரு பகுதியிலும் உள்ள அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கை அதன் பரப்பளவை தீர்மானிக்கிறது. இந்த பகுதிகளின் உள்ளமைவு தன்னிச்சையாக கொடுக்கப்படலாம், ஆனால் அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் அசல் உருவத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும். ஒருவேளை, கணிதவியலாளர்கள் இந்த வாதங்களை தவறாகக் கருதுவார்கள், பின்னர் அவற்றை ஒரு அனுமானமாக எடுத்துக்கொள்வோம். கிஸ்லியோவின் பாடப்புத்தகத்தில் இத்தகைய அனுமானங்கள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால், அத்தகைய நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது பாவம்.

கணினி பகுப்பாய்வின் முதல் படி சிக்கலைக் கண்டறிவதாகும். இந்த கட்டத்தின் தொடக்கத்தில், பல்வேறு ஆதாரங்களில் காணப்படும் பல நூறு பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் ஆராயப்பட்டன. அதே நேரத்தில், வெளியீடுகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் முழு தொகுப்பையும் உள்ளமைவில் வேறுபடும் பல குழுக்களாகப் பிரிக்கலாம் என்பதில் கவனம் செலுத்தப்பட்டது. அசல் மற்றும் கழிக்கப்பட்ட சதுரங்களின் பக்கங்களின் நீளத்தில் உள்ள வித்தியாசத்தை, அதாவது c-b மதிப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டமைப்பின் அடையாளமாகக் கருதுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, வெளியீடுகளில், c-b=1 நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் மும்மடங்குகள் பெரும்பாலும் உதாரணமாகக் காட்டப்படுகின்றன. அத்தகைய பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் முழு தொகுப்பும் ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறது என்று நாங்கள் கருதுகிறோம், அதை நாங்கள் "கிளாஸ் சி-1" என்று அழைப்போம், மேலும் இந்த வகுப்பின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று சதுரங்களைக் கவனியுங்கள், இதில் c என்பது குறைக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம், b என்பது கழிக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் a என்பது சதுரத்தின் பக்கத்தின் நீளம் அவர்களின் வேறுபாட்டிலிருந்து. அத்திப்பழத்தில். 1 குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவிலிருந்து கழிக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பரப்பளவைக் கழிக்கும்போது, மீதத்தில் இரண்டு அலகு சதுரங்களின் பட்டைகள் இருப்பதைக் காணலாம்:

இந்த மீதியிலிருந்து ஒரு சதுரத்தை உருவாக்க, நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்

இந்த உறவுகள் மும்மடங்கின் அனைத்து உறுப்பினர்களின் மதிப்புகளையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது c. உறவை (6) திருப்திப்படுத்தும் மிகச்சிறிய எண் c என்பது c = 5. எனவே, உறவை திருப்திப்படுத்தும் சதுரங்களின் மூன்று பக்கங்களின் நீளமும் (1) தீர்மானிக்கப்பட்டது. சராசரி சதுரத்தின் பக்கத்தின் மதிப்பு b என்பதை நினைவில் கொள்க

அசல் சதுரத்தின் பக்கத்தை ஒன்றால் குறைத்து நடுத்தர சதுரத்தை உருவாக்க முடிவு செய்தபோது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. பின்னர் உறவுகளிலிருந்து (5), (6). (7) பின்வரும் தொடர்பைப் பெறுகிறோம்:

அதில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்பு c = 5 தனித்துவமாக b = 4, a = 3 மதிப்புகளை தீர்மானிக்கிறது.

இதன் விளைவாக, "c - 1" வகுப்பின் எந்தவொரு பித்தகோரியன் மும்மடங்கையும் அத்தகைய வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த அனுமதிக்கும் உறவுகள் பெறப்படுகின்றன, அங்கு மூன்று உறுப்பினர்களின் மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுருவால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன - மதிப்பு c:

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண் 5 ஆனது c இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் குறைந்தபட்சமாக தோன்றியதைச் சேர்க்கிறோம், அதற்கான சமன்பாடு (6) இயற்கை எண்களில் ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது. அதே பண்பு கொண்ட அடுத்த எண் 13, பின்னர் 25, பின்னர் 41, 61, 85, முதலியன. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த எண்களின் தொடரில், அருகில் உள்ள எண்களுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் வேகமாக அதிகரிக்கின்றன. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, செல்லுபடியாகும் மதிப்புக்குப் பிறகு, அடுத்த செல்லுபடியாகும் மதிப்பு , மற்றும் , அடுத்த செல்லுபடியாகும் மதிப்பு , அதாவது, செல்லுபடியாகும் மதிப்பு முந்தையதை விட ஐம்பது மில்லியனுக்கும் அதிகமாகும்!

புத்தகத்தில் இந்த சொற்றொடர் எங்கிருந்து வந்தது என்பது இப்போது தெளிவாகிறது: - “எண்கள் அதிகரிக்கும் போது, பித்தகோரியன் மும்மடங்கு குறைவாகவும் குறைவாகவும் காணப்படுகிறது, மேலும் அவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது மேலும் மேலும் கடினமாகிறது ...”. இருப்பினும், இந்த அறிக்கை உண்மையல்ல. c இன் அண்டை மதிப்புகளின் மேலே உள்ள ஜோடிகளுடன் தொடர்புடைய பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை ஒருவர் பார்க்க வேண்டும், ஏனெனில் ஒரு அம்சம் உடனடியாக கண்ணைக் கவரும் - இரண்டு ஜோடிகளிலும், c இன் மதிப்புகள் இவ்வளவு பெரிய இடைவெளிகளால் பிரிக்கப்படுகின்றன, ஒரு திருப்பத்தின் மதிப்புகள் அண்டை ஒற்றைப்படை எண்களாக இருக்கும். உண்மையில், எங்களிடம் உள்ள முதல் ஜோடிக்கு

மற்றும் இரண்டாவது ஜோடிக்கு

எனவே இது "குறைவான மற்றும் குறைவான பொதுவானது" என்பது மூன்று மடங்கு அல்ல, ஆனால் c இன் அண்டை மதிப்புகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் அதிகரித்து வருகின்றன. பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள், கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் இருக்கும்.

இப்போது அடுத்த வகுப்பின் மூன்று மடங்குகளைக் கவனியுங்கள் - "வகுப்பு c-2". அத்திப்பழத்திலிருந்து பார்க்க முடியும். 1, c பக்கமுள்ள ஒரு சதுரத்திலிருந்து பக்கத்துடன் (c - 2) ஒரு சதுரத்தைக் கழிக்கும்போது, மீதமுள்ளவை இரண்டு அலகு பட்டைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். இந்த தொகையின் மதிப்பு சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

சமன்பாடு (10) இலிருந்து எல்லையற்ற டிரிபிள்ஸ் கிளாஸ் "c-2" எதையும் வரையறுக்கும் உறவைப் பெறுகிறோம்:

இயல் எண்களில் சமன்பாடு (11) க்கு தீர்வு இருப்பதற்கான நிபந்தனை, இது போன்ற ஏதேனும் ஒரு மதிப்பு c ஆகும், அதற்கான ஒரு இயற்கை எண்ணாகும். ஒரு தீர்வு இருக்கும் c இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு c = 5. பின்னர் இந்த வகை மும்மடங்கிற்கான "தொடக்க" மும்மடங்கு a = 4, b = 3, c = 5 என்ற தொகுப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதாவது, மீண்டும் கிளாசிக்கல் டிரிபிள் 3, 4, 5 உருவாகிறது, இப்போதுதான் கழிக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பரப்பளவு மீதமுள்ள பகுதியை விட குறைவாக உள்ளது.

இறுதியாக, "s-8" வகுப்பின் மூன்று மடங்குகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். இந்த மும்மடங்கு வகுப்பிற்கு, அசல் சதுரத்தின் பகுதி c2 இலிருந்து சதுரத்தின் பகுதியைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

பின்னர், சமன்பாடு (12) இலிருந்து பின்வருமாறு:

தீர்வு இருக்கும் c இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு c = 13. இந்த மதிப்பில் உள்ள பித்தகோரியன் ட்ரிபிள் 12, 5, 13 வடிவத்தை எடுக்கும். இந்த வழக்கில், மீண்டும், கழிக்கப்பட வேண்டிய சதுரத்தின் பரப்பளவு குறைவாக உள்ளது மீதமுள்ள பகுதி. மற்றும் இடங்களில் பதவிகளை மறுசீரமைப்பதன் மூலம், டிரிபிள் 5, 12, 13 ஐப் பெறுகிறோம், இது அதன் உள்ளமைவின் மூலம் "c - 1" வகுப்பிற்கு சொந்தமானது. மற்ற சாத்தியமான உள்ளமைவுகளின் மேலும் பகுப்பாய்வு அடிப்படையில் புதிய எதையும் வெளிப்படுத்தாது என்று தெரிகிறது.

கணக்கிடப்பட்ட விகிதங்களின் வழித்தோன்றல்

முந்தைய பிரிவில், பகுப்பாய்வின் தர்க்கம் அதன் ஐந்து முக்கிய நிலைகளில் நான்கில் கணினி பகுப்பாய்வின் தேவைகளுக்கு ஏற்ப உருவாக்கப்பட்டது: சிக்கல் சூழ்நிலையின் பகுப்பாய்வு, இலக்குகளை உருவாக்குதல், செயல்பாடுகளை உருவாக்குதல் மற்றும் கட்டமைப்பை உருவாக்குதல். இப்போது இறுதி, ஐந்தாவது கட்டத்திற்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது - சாத்தியக்கூறு சோதனை, அதாவது இலக்குகள் எந்த அளவிற்கு அடையப்படுகின்றன என்பதற்கான சோதனை. .

அட்டவணை 1 கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது. 1, இது "c - 1" வகுப்பைச் சேர்ந்த பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் மதிப்புகளைக் காட்டுகிறது. பெரும்பாலான மும்மடங்குகள் பல்வேறு வெளியீடுகளில் காணப்படுகின்றன, ஆனால் 999, 1001 க்கு சமமான மதிப்புகளுக்கான மூன்று மடங்குகள் அறியப்பட்ட வெளியீடுகளில் காணப்படவில்லை.

அட்டவணை 1

"சி-1" வகுப்பின் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்

அனைத்து மும்மடங்குகள் உறவை திருப்திப்படுத்துகின்றனவா என்பதை ஒருவர் சரிபார்க்கலாம் (3). இதனால், நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்குகளில் ஒன்று எட்டப்பட்டுள்ளது. முந்தைய பிரிவில் பெறப்பட்ட உறவுகள் (9), (11), (13) குறைக்கப்பட்ட சதுரத்தின் பக்கமான c என்ற அளவுருவை அமைப்பதன் மூலம் எல்லையற்ற மும்மடங்குகளை உருவாக்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது. நிச்சயமாக, இது உறவை (2) விட மிகவும் ஆக்கபூர்வமான விருப்பமாகும், இதன் பயன்பாட்டிற்கு ஒருவர் தன்னிச்சையாக மூன்று எண்களை அமைக்க வேண்டும் l, m, n, ஏதேனும் மதிப்பு இருந்தால், பின்னர் ஒரு தீர்வைத் தேடுங்கள், இறுதியில் அதை மட்டுமே தெரிந்து கொள்ளுங்கள், ஒரு பித்தகோரியன் ட்ரிபிள் நிச்சயமாக பெறப்படும், எது தெரியவில்லை. எங்கள் விஷயத்தில், உருவாகும் ட்ரிப்லின் உள்ளமைவு முன்கூட்டியே அறியப்படுகிறது மற்றும் ஒரே ஒரு அளவுருவை அமைக்க வேண்டும். ஆனால், ஐயோ, இந்த அளவுருவின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் தீர்வு இல்லை. மற்றும் அதன் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நீங்கள் முன்கூட்டியே தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே முடிவு நல்லது, ஆனால் இலட்சியத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. எந்தவொரு தன்னிச்சையாக கொடுக்கப்பட்ட இயற்கை எண்ணுக்கும் பித்தகோரியன் மும்மடங்கைக் கணக்கிடக்கூடிய அத்தகைய தீர்வைப் பெறுவது விரும்பத்தக்கது. இந்த நோக்கத்திற்காக, நான்காவது கட்டத்திற்குத் திரும்புவோம் - பெறப்பட்ட கணித உறவுகளின் கட்டமைப்பின் உருவாக்கம்.

டிரிபிளின் மீதமுள்ள உறுப்பினர்களைத் தீர்மானிப்பதற்கான அடிப்படை அளவுருவாக c மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுப்பது சிரமமாக இருந்ததால், மற்றொரு விருப்பத்தை முயற்சிக்க வேண்டும். அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடியும். 1, இந்த அளவுருவின் மதிப்புகள் ஒற்றைப்படை இயற்கை எண்களின் வரிசையில் ஒரு வரிசையில் இருப்பதால், அடிப்படை ஒன்றை a என்ற அளவுருவைத் தேர்ந்தெடுப்பது விரும்பத்தக்கதாகத் தெரிகிறது. எளிமையான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, உறவுகளை (9) மிகவும் ஆக்கபூர்வமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

உறவுகள் (14) முன் ஒதுக்கப்பட்ட ஒற்றைப்படை மதிப்பிற்கு பித்தகோரியன் மும்மடங்கைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது a. அதே நேரத்தில், b க்கான வெளிப்பாட்டின் எளிமை, கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கூட கணக்கீடுகளைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கிறது. உண்மையில், தேர்வு, எடுத்துக்காட்டாக, எண் 13, நாம் பெறுகிறோம்:

முறையே 99 என்ற எண்ணுக்கு, நாம் பெறுகிறோம்:

உறவுகள் (15) n=1 இலிருந்து தொடங்கும் எந்த ஒரு n க்கும் பித்தகோரியன் சரத்தின் மூன்று சொற்களின் மதிப்புகளைப் பெற அனுமதிக்கின்றன.

இப்போது "c - 2" வகுப்பின் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளைக் கவனியுங்கள். அட்டவணையில். 2 போன்ற பத்து மூன்று மடங்குகளை உதாரணமாகக் காட்டுகிறது. மேலும், அறியப்பட்ட வெளியீடுகளில் மூன்று ஜோடி மும்மடங்குகள் மட்டுமே காணப்பட்டன - 8, 15, 23; 12, 35, 36; மற்றும் 16, 63, 65. அவை உருவாகும் வடிவங்களைத் தீர்மானிக்க இது போதுமானதாக மாறியது. மீதமுள்ள ஏழு முன்பு பெறப்பட்ட உறவுகளிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது (11). கணக்கீட்டின் வசதிக்காக, இந்த விகிதங்கள் மாற்றப்பட்டன, இதனால் அனைத்து அளவுருக்களும் a இன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. (11) இலிருந்து "c - 2" வகுப்பிற்கான அனைத்து மும்மடங்குகள் பின்வரும் உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது:

அட்டவணை 2

"சி-2" வகுப்பின் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்

அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடியும். 2, "c - 2" வகுப்பின் மும்மடங்கின் முழு எல்லையற்ற தொகுப்பையும் இரண்டு துணைப்பிரிவுகளாகப் பிரிக்கலாம். மூன்று மடங்குகளுக்கு, a இன் மதிப்பு மீதி இல்லாமல் 4 ஆல் வகுபடும், b மற்றும் c இன் மதிப்புகள் ஒற்றைப்படை. GCD = 1 போன்ற மூன்று மடங்குகள் பழமையானவை என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு முழு எண்களில் 4 ஆல் வகுபடாத மூன்று மடங்குகளுக்கு, மூன்று a, b, c ஆகிய மூன்று உறுப்பினர்களும் சமமாக இருக்கும்.

இப்போது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வகுப்புகளில் மூன்றின் பகுப்பாய்வின் முடிவுகளை மதிப்பாய்வு செய்ய செல்லலாம் - வகுப்பு "சி - 8". (13) இலிருந்து பெறப்பட்ட இந்த வகுப்பிற்கான கணக்கிடப்பட்ட உறவுகள் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

உறவுகள் (20), (21) அடிப்படையில் ஒரே மாதிரியானவை. செயல்களின் வரிசையின் தேர்வில் மட்டுமே வேறுபாடு உள்ளது. அல்லது, (20) க்கு இணங்க, a இன் விரும்பிய மதிப்பு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது (இந்த விஷயத்தில், இந்த மதிப்பை 4 ஆல் வகுக்க வேண்டும்), பின்னர் b மற்றும் c இன் மதிப்புகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. அல்லது, ஒரு தன்னிச்சையான எண் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, பின்னர், உறவுகளிலிருந்து (21), பித்தகோரியன் ட்ரிப்லின் மூன்று உறுப்பினர்களும் தீர்மானிக்கப்படுகிறார்கள். அட்டவணையில். இந்த வழியில் கணக்கிடப்பட்ட பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் எண்ணிக்கையை 3 காட்டுகிறது. இருப்பினும், பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவது இன்னும் எளிதானது. குறைந்தபட்சம் ஒரு மதிப்பு தெரிந்தால், அனைத்து அடுத்தடுத்த மதிப்புகளும் பின்வரும் உறவுகளால் மிகவும் எளிமையாக தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

அட்டவணை 3

அனைவருக்குமான உறவின் செல்லுபடியாகும் (22) அட்டவணையில் இருந்து மும்மடங்கு மூலம் சரிபார்க்கப்படலாம். 2, அத்துடன் பிற மூலங்களிலிருந்தும். உதாரணமாக, அட்டவணையில். பித்தகோரியன் ட்ரிப்பிள்களின் (10000 டிரிபிள்ஸ்) விரிவான அட்டவணையில் இருந்து 4 சாய்வு செய்யப்பட்ட மும்மடங்குகள் (10000 டிரிபிள்ஸ்) கணினி நிரலின் அடிப்படையில் தொடர்பு (2) மற்றும் தடித்த வகை - உறவால் கணக்கிடப்படும் மும்மடங்குகள் (20). இந்த மதிப்புகள் குறிப்பிட்ட அட்டவணையில் இல்லை.

அட்டவணை 4

"s-8" வகுப்பின் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ்

அதன்படி, படிவத்தின் மூன்று மடங்குகளுக்கு, பின்வரும் உறவுகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

மற்றும் படிவத்தின் மும்மடங்குகளுக்கு<>, எங்களிடம் விகிதம் உள்ளது:

மேலே உள்ள மூன்று வகைகளான "c - 1", "c - 2", "c - 8" ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையில் இருந்து முதல் ஆயிரம் மும்மடங்குகளில் 90% க்கும் அதிகமானவை என்பதை வலியுறுத்த வேண்டும். இது இந்த வகுப்புகளை அடிப்படையாகக் கருதுவதற்கான காரணத்தை அளிக்கிறது. உறவுகளைப் பெறும்போது (22), (23), (24), எண் கோட்பாட்டில் (பிரைம், காபிரைம், முதலியன) ஆய்வு செய்யப்பட்ட எண்களின் சிறப்பு பண்புகள் எதுவும் பயன்படுத்தப்படவில்லை. பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளின் உருவாக்கத்தில் வெளிப்படுத்தப்பட்ட ஒழுங்குமுறைகள் இந்த மும்மடங்குகளால் விவரிக்கப்பட்ட வடிவியல் உருவங்களின் அமைப்பு பண்புகள் மட்டுமே காரணமாகும் - சதுரங்கள், அலகு சதுரங்களின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

முடிவுரை

இப்போது, 1993 இல் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் கூறியது போல், "நான் அங்கு நிறுத்த வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன்." நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலக்கு முழுமையாக அடையப்பட்டுள்ளது. கணித மாதிரிகளின் பண்புகளின் பகுப்பாய்வு, வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களுடன் தொடர்புடைய அமைப்பு, பகுப்பாய்வு செயல்பாட்டில், முற்றிலும் கணிதக் கணக்கீடுகளுடன், ஆய்வின் கீழ் உள்ள மாதிரிகளின் வடிவியல் பண்புகளும் இருந்தால், பெரிதும் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது. கணக்கில் எடுத்து கொள்ளப்பட்டது. குறிப்பாக, கணித மாற்றங்களைச் செய்யாமல் ஆராய்ச்சியாளர் விரும்பிய முடிவுகளை "பார்க்கிறார்" என்பதன் காரணமாக எளிமைப்படுத்தல் அடையப்படுகிறது.

உதாரணமாக, சமத்துவம்

அதன் இடது பக்கத்தில் மாற்றங்கள் இல்லாமல் தெளிவாகிறது, ஒருவர் அத்தியை மட்டுமே பார்க்க வேண்டும். இந்த சமத்துவத்தின் வரைகலை மாதிரிக்கு 1.

இதன் விளைவாக, நிகழ்த்தப்பட்ட பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், ஒரு பக்கத்துடன் கூடிய எந்த சதுரத்திற்கும், b மற்றும் c பக்கங்களைக் கொண்ட சதுரங்களைக் காணலாம், அதாவது சமத்துவம் மற்றும் உறவுகள் பெறப்படுகின்றன. கணக்கீடுகள்:

ஒற்றைப்படை மதிப்புகளுக்கு a,

மற்றும் - சம மதிப்புகளுக்கு.

நூலியல் இணைப்பு

பெஸ்க்ரோவ்னி ஐ.எம். பித்தகோரியன் டிரிபிள்களின் பண்புகளின் அமைப்பு பகுப்பாய்வு // நவீன அறிவியல்-தீவிர தொழில்நுட்பங்கள். - 2013. - எண் 11. - பி. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (அணுகல் தேதி: 03/20/2020). "அகாடமி ஆஃப் நேச்சுரல் ஹிஸ்டரி" என்ற பதிப்பகத்தால் வெளியிடப்பட்ட பத்திரிகைகளை நாங்கள் உங்கள் கவனத்திற்குக் கொண்டு வருகிறோம்.

அடுத்து, பயனுள்ள பித்தகோரியன் ட்ரிபிள்களை உருவாக்குவதற்கான நன்கு அறியப்பட்ட முறைகளை நாங்கள் கருதுகிறோம். பித்தகோரஸின் மாணவர்கள் பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை உருவாக்குவதற்கான எளிய வழியை முதன்முதலில் கண்டுபிடித்தனர்.

மீ 2 + ((மீ 2 − 1)/2) 2 = ((மீ 2 + 1)/2) 2 ,

எங்கே மீ- இணைக்கப்படாத, மீ>2. உண்மையில்,

4மீ 2 + மீ 4 − 2மீ 2 + 1
மீ 2 + ((மீ 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((மீ 2 + 1)/2) 2 .
4

இதேபோன்ற சூத்திரத்தை பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி பிளாட்டோ முன்மொழிந்தார்:

(2மீ) 2 + (மீ 2 − 1) 2 = (மீ 2 + 1) 2 ,

எங்கே மீ- எந்த எண். க்கு மீ= 2,3,4,5 பின்வரும் மும்மடங்குகள் உருவாக்கப்படுகின்றன:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த சூத்திரங்கள் அனைத்து சாத்தியமான பழமையான மூன்று கொடுக்க முடியாது.

பின்வரும் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கவனியுங்கள், இது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைகிறது:

(2மீ 2 + 2மீ + 1) 2 = 4மீ 4 + 8மீ 3 + 8மீ 2 + 4மீ + 1 =
=4மீ 4 + 8மீ 3 + 4மீ 2 + 4மீ 2 + 4மீ + 1 = (2மீ(மீ+1)) 2 + (2மீ +1) 2 .

எனவே பழமையான மும்மடங்குகளைப் பெறுவதற்கான பின்வரும் சூத்திரங்கள்:

அ = 2மீ +1 , பி = 2மீ(மீ+1) = 2மீ 2 + 2மீ , c = 2மீ 2 + 2மீ + 1.

இந்த சூத்திரங்கள் மும்மடங்குகளை உருவாக்குகின்றன, இதில் சராசரி எண்ணானது மிகப்பெரிய எண்ணிக்கையிலிருந்து சரியாக ஒன்றால் வேறுபடுகிறது, அதாவது சாத்தியமான அனைத்து மூன்று மடங்குகளும் உருவாக்கப்படுவதில்லை. இங்கே முதல் மும்மடங்குகள்: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

அனைத்து பழமையான மும்மடங்குகளை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதை தீர்மானிக்க, அவற்றின் பண்புகளை ஒருவர் ஆராய வேண்டும். முதலில், என்றால் ( a,b,c) ஒரு பழமையான மூன்று, பின்னர் அமற்றும் பி, பிமற்றும் c, அமற்றும் c- காபிரைம் இருக்க வேண்டும். விடுங்கள் அமற்றும் பிஎன பிரிக்கப்படுகின்றன ஈ. பிறகு அ 2 + பி 2 ஆல் வகுபடும் ஈ. முறையே, c 2 மற்றும் cஎன பிரிக்க வேண்டும் ஈ. அதாவது, இது ஒரு பழமையான மூன்று அல்ல.

இரண்டாவதாக, எண்கள் மத்தியில் அ, பிஒன்று ஜோடியாகவும் மற்றொன்று இணைக்கப்படாமலும் இருக்க வேண்டும். உண்மையில், என்றால் அமற்றும் பி- ஜோடி, பின்னர் உடன்ஜோடியாக இருக்கும், மேலும் எண்களை குறைந்தபட்சம் 2 ஆல் வகுக்க முடியும். அவை இரண்டும் இணைக்கப்படாமல் இருந்தால், அவற்றை 2 ஆகக் குறிப்பிடலாம். கே+1 நான் 2 எல்+1, எங்கே கே,எல்- சில எண்கள். பிறகு அ 2 + பி 2 = 4கே 2 +4கே+1+4எல் 2 +4எல்+1, அதாவது உடன் 2, அத்துடன் அ 2 + பி 2ஐ 4 ஆல் வகுத்தால் 2 மீதம் இருக்கும்.

விடுங்கள் உடன்- எந்த எண், அதாவது உடன் = 4கே+நான் (நான்=0,…,3). பிறகு உடன் 2 = (4கே+நான்) 2 இல் 0 அல்லது 1 மீதி உள்ளது மற்றும் 2 இன் மீதியைக் கொண்டிருக்க முடியாது. அமற்றும் பிஇணைக்கப்படாமல் இருக்க முடியாது, அதாவது அ 2 + பி 2 = 4கே 2 +4கே+4எல் 2 +4எல்+1 மற்றும் மீதமுள்ளவை உடன் 2 ஆல் 4 1 ஆக இருக்க வேண்டும், அதாவது உடன்இணைக்கப்படாமல் இருக்க வேண்டும்.

பித்தகோரியன் மும்மடங்கின் கூறுகளுக்கான இத்தகைய தேவைகள் பின்வரும் எண்களால் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

அ = 2mn, பி = மீ 2 − n 2 , c = மீ 2 + n 2 , மீ > n, (2)

எங்கே மீமற்றும் nவெவ்வேறு ஜோடிகளுடன் இணையாக உள்ளன. முதன்முறையாக, இந்த சார்புகள் 2300 r வாழ்ந்த யூக்ளிட்டின் படைப்புகளிலிருந்து அறியப்பட்டன. மீண்டும்.

சார்புகளின் செல்லுபடியை நிரூபிப்போம் (2). விடுங்கள் அ- இரட்டை, பின்னர் பிமற்றும் c- இணைக்கப்படாத. பிறகு c + பிநான் c − பி- ஜோடிகள். அவற்றை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம் c + பி = 2uமற்றும் c − பி = 2v, எங்கே u,vசில முழு எண்கள். அதனால் தான்

அ 2 = உடன் 2 − பி 2 = (c + பி)(c − பி) = 2u 2 v = 4UV

எனவே ( அ/2) 2 = UV.

என்பதை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்க முடியும் uமற்றும் vகாபிரைம் ஆகும். விடுங்கள் uமற்றும் v- என பிரிக்கப்பட்டுள்ளது ஈ. பிறகு ( c + பி) மற்றும் ( c − பி) பிரிக்கப்படுகின்றன ஈ. எனவே cமற்றும் பிஎன பிரிக்க வேண்டும் ஈ, மேலும் இது பித்தகோரியன் ட்ரிப்லின் நிபந்தனைக்கு முரணானது.

ஏனெனில் UV = (அ/2) 2 மற்றும் uமற்றும் v coprime, அதை நிரூபிப்பது எளிது uமற்றும் vசில எண்களின் சதுரங்களாக இருக்க வேண்டும்.

எனவே நேர்மறை முழு எண்கள் உள்ளன மீமற்றும் n, அதுபோல் u = மீ 2 மற்றும் v = n 2. பிறகு

அ 2 = 4UV = 4மீ 2 n 2 அதனால்
அ = 2mn; பி = u − v = மீ 2 − n 2 ; c = u + v = மீ 2 + n 2 .

ஏனெனில் பி> 0, பின்னர் மீ > n.

அதை காட்ட வேண்டும் மீமற்றும் nவெவ்வேறு ஜோடிகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு என்றால் மீமற்றும் n- ஜோடி, பின்னர் uமற்றும் vஜோடியாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் இது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் அவை coprime ஆகும். ஒரு என்றால் மீமற்றும் n- இணைக்கப்படாதது, பின்னர் பி = மீ 2 − n 2 மற்றும் c = மீ 2 + n 2 ஜோடியாக இருக்கும், ஏனெனில் இது சாத்தியமற்றது cமற்றும் பிகாபிரைம் ஆகும்.

எனவே, எந்த பழமையான பித்தகோரியன் மும்மடங்கு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் (2). அதே நேரத்தில், எண்கள் மீமற்றும் nஅழைக்கப்பட்டது எண்களை உருவாக்குகிறதுபழமையான மும்மூர்த்திகள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பழமையான பித்தகோரியன் டிரிபிள் (120,119,169) இருக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில்

அ= 120 = 2 12 5, பி= 119 = 144 - 25, மற்றும் c = 144+25=169,

எங்கே மீ = 12, n= 5 - உருவாக்கும் எண்கள், 12 > 5; 12 மற்றும் 5 ஆகியவை coprime மற்றும் வெவ்வேறு ஜோடிகளாகும்.

எண்கள் என்பதை நிரூபிக்க முடியும் மீ, nசூத்திரங்கள் (2) ஒரு பழமையான பித்தகோரியன் டிரிபிள் (a,b,c) கொடுக்கின்றன. உண்மையில்,

அ 2 + பி 2 = (2mn) 2 + (மீ 2 − n 2) 2 = 4மீ 2 n 2 + (மீ 4 − 2மீ 2 n 2 + n 4) =
= (மீ 4 + 2மீ 2 n 2 + n 4) = (மீ 2 + n 2) 2 = c 2 ,

அது ( அ,பி,c) ஒரு பித்தகோரியன் ட்ரிபிள் ஆகும். அதை அப்படியே நிரூபிப்போம் அ,பி,cமுரண்பாட்டின் மூலம் காபிரைம் எண்கள். இந்த எண்களை வகுக்கட்டும் ப> 1. முதல் மீமற்றும் nவெவ்வேறு ஜோடிகளை, பின்னர் பிமற்றும் c- இணைக்கப்படாத, அதாவது ப≠ 2. ஏனெனில் ஆர்பிரிக்கிறது பிமற்றும் c, பிறகு ஆர் 2 வகுக்க வேண்டும் மீ 2 மற்றும் 2 n 2, ஏனெனில் இது சாத்தியமற்றது ப≠ 2. எனவே மீ, n coprime மற்றும் அ,பி,cஅவையும் சமமாக உள்ளன.

(2) சூத்திரங்களால் உருவாக்கப்பட்ட அனைத்து பழமையான பித்தகோரியன் மும்மடங்குகளை அட்டவணை 1 காட்டுகிறது மீ≤10.

அட்டவணை 1. பழமையான பித்தகோரியன் மும்மடங்கு மீ≤10

மீ	n	அ	பி	c	மீ	n	அ	பி	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

இந்த அட்டவணையின் பகுப்பாய்வு பின்வரும் தொடர் வடிவங்களின் இருப்பைக் காட்டுகிறது:

அல்லது அ, அல்லது பி 3 ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன;
எண்களில் ஒன்று அ,பி,c 5 ஆல் வகுபடும்;
எண் அ 4 ஆல் வகுபடும்;
வேலை அ· பி 12 ஆல் வகுபடும்.

1971 ஆம் ஆண்டில், அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர்களான டீகன் மற்றும் ஹெட்வின் ஆகியோர், மும்மடங்குகளை உருவாக்க, வலது கோண முக்கோணத்தின் உயரம் (உயரம்) போன்ற சிறிய அறியப்படாத அளவுருக்களை முன்மொழிந்தனர். ம = c− b மற்றும் அதிகப்படியான (வெற்றி) இ = அ + பி − c. படம்.1 இல். இந்த அளவுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வலது முக்கோணத்தில் காட்டப்படுகின்றன.

படம் 1. வலது முக்கோணம் மற்றும் அதன் வளர்ச்சி மற்றும் அதிகப்படியான

நீங்கள் அதன் மூலைவிட்டத்தில் செல்லவில்லை என்றால், முக்கோணத்தின் கால்களில் ஒரு உச்சியில் இருந்து எதிர் திசையில் செல்ல வேண்டிய கூடுதல் தூரம் இது என்பதன் மூலம் "அதிகப்படியான" பெயர் பெறப்பட்டது.

அதிகப்படியான மற்றும் வளர்ச்சியின் மூலம், பித்தகோரியன் முக்கோணத்தின் பக்கங்களை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம்:

இ 2 இ 2
அ = ம + இ, பி = இ + ——, c = ம + இ + ——, (3)
2ம 2ம

அனைத்து சேர்க்கைகள் இல்லை மமற்றும் இபித்தகோரியன் முக்கோணங்களுடன் ஒத்திருக்கலாம். கொடுக்கப்பட்டதற்கு மசாத்தியமான மதிப்புகள் இசில எண்ணின் பெருக்கமாகும் ஈ. இந்த எண் ஈவளர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கிறது மபின்வரும் வழியில்: ஈசதுரம் 2 ஆல் வகுபடும் மிகச்சிறிய நேர்மறை முழு எண் ம. ஏனெனில் இபல ஈ, என எழுதப்பட்டுள்ளது இ = kd, எங்கே கேநேர்மறை முழு எண்.

ஜோடிகளின் உதவியுடன் ( கே,ம) நீங்கள் அனைத்து பித்தகோரியன் முக்கோணங்களையும் உருவாக்கலாம், இதில் பழமையான மற்றும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டவை உட்பட, பின்வருமாறு:

(dk) 2 (dk) 2
அ = ம + dk, பி = dk + ——, c = ம + dk + ——, (4)
2ம 2ம

மேலும், ஒரு மூன்று என்றால் பழமையானது கேமற்றும் ம coprime மற்றும் என்றால் ம =± கே 2 மணிக்கு கே- இணைக்கப்படாத.
மேலும், அது சரியாக பித்தகோரியன் மும்மடங்காக இருக்கும் கே> √2 ம/ஈமற்றும் ம > 0.

கண்டுபிடிக்க கேமற்றும் மஇருந்து ( அ,பி,c) பின்வருவனவற்றைச் செய்யுங்கள்:

ம = c − பி;
எழுது மஎப்படி ம = pq 2, எங்கே ப> 0 மற்றும் அது ஒரு சதுரம் அல்ல;
ஈ = 2pqஎன்றால் ப- இணைக்கப்படாத மற்றும் ஈ = pq, p ஜோடியாக இருந்தால்;
கே = (அ − ம)/ஈ.

உதாரணமாக, நம்மிடம் உள்ள மூன்று (8,15,17) க்கு ம= 17−15 = 2 1, எனவே ப= 2 மற்றும் கே = 1, ஈ= 2, மற்றும் கே= (8 - 2)/2 = 3. எனவே இந்த மூன்றும் ( கே,ம) = (3,2).

மூன்றுக்கு (459,1260,1341) எங்களிடம் உள்ளது ம= 1341 - 1260 = 81, எனவே ப = 1, கே= 9 மற்றும் ஈ= 18, எனவே கே= (459 - 81)/18 = 21, எனவே இந்த மும்மடங்கின் குறியீடு ( கே,ம) = (21, 81).

உடன் மும்மடங்குகளைக் குறிப்பிடுகிறது மமற்றும் கேபல சுவாரஸ்யமான பண்புகள் உள்ளன. அளவுரு கேசமம்

கே = 4எஸ்/(dP), (5)

எங்கே எஸ் = ab/2 என்பது முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, மற்றும் பி = அ + பி + cஅதன் சுற்றளவு ஆகும். இது சமத்துவத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது eP = 4எஸ், இது பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் இருந்து வருகிறது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு இமுக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் விட்டத்திற்கு சமம். இது ஹைப்போடென்யூஸ் என்ற உண்மையிலிருந்து வருகிறது உடன் = (அ − ஆர்)+(பி − ஆர்) = அ + பி − 2ஆர், எங்கே ஆர்வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். இங்கிருந்து ம = c − பி = அ − 2ஆர்மற்றும் இ = அ − ம = 2ஆர்.

க்கு ம> 0 மற்றும் கே > 0, கேமும்மடங்குகளின் வரிசை எண் அ-பி-cஅதிகரித்து வரும் பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் வரிசையில் ம. அட்டவணை 2 இலிருந்து, ஜோடிகளால் உருவாக்கப்பட்ட மும்மடங்குகளுக்கான பல விருப்பங்களைக் காட்டுகிறது ம, கே, அதிகரித்து வருவதைக் காணலாம் கேமுக்கோணத்தின் பக்கங்கள் அதிகரிக்கும். எனவே, கிளாசிக்கல் எண்களைப் போலல்லாமல், ஜோடிகளாக எண்ணுதல் ம, கேமும்மடங்கின் வரிசைகளில் அதிக வரிசையைக் கொண்டுள்ளது.

அட்டவணை 2. பித்தகோரியன் மும்மடங்குகள் h, k ஜோடிகளால் உருவாக்கப்படுகின்றன.

ம	கே	அ	பி	c	ம	கே	அ	பி	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

க்கு ம > 0, ஈசமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கிறது 2√ ம ≤ ஈ ≤ 2ம, இதில் கீழ் எல்லையை அடையும் ப= 1, மற்றும் மேல் ஒன்று, at கே= 1. எனவே, மதிப்பு ஈ 2√ தொடர்பாக மஎவ்வளவு என்பதற்கான அளவீடு ஆகும் மசில எண்ணின் வர்க்கத்திலிருந்து வெகு தொலைவில்.

வகைகள்

பிரபலமான கட்டுரைகள்

	ரோல்ட் அமுண்ட்சென் மற்றும் ராபர்ட் ஸ்காட்: தென் துருவம்
	டாராகன்: பயன்கள் மற்றும் பயன்பாட்டிற்கான விதிகள் டாராகனின் மற்றொரு பெயர்
	கடந்த காலத்தின் மிகவும் அபத்தமான கண்டுபிடிப்புகள் தொழில்நுட்பம் மிகவும் முட்டாள்தனமான கண்டுபிடிப்புகள்
	உங்கள் கனவு புத்தகங்களில் இரத்தம் இல்லாமல் பற்கள் விழுவதை ஏன் கனவு காண்கிறீர்கள்
	கனவு புத்தகங்களில் தூக்க விண்கல்லின் விளக்கம்

2022 "gcchili.ru" - பற்கள் பற்றி. உள்வைப்பு. பல் கல். தொண்டை